Номер 235, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. При каких значениях $a$ имеет решения уравнение:

1) $ \sin x = 4 - a $

2) $ (a^2 - 4)\sin x = a + 2 $

3) $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $

1) Для того чтобы уравнение $ \sin x = 4 - a $ имело решения, необходимо и достаточно, чтобы его правая часть принадлежала отрезку $[-1, 1]$, так как область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Решим двойное неравенство:

$ -1 \le 4 - a \le 1 $

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$ -1 - 4 \le -a \le 1 - 4 $

$ -5 \le -a \le -3 $

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$ 5 \ge a \ge 3 $

Это эквивалентно $ 3 \le a \le 5 $. Таким образом, уравнение имеет решения при $ a \in [3, 5] $.

Ответ: $ a \in [3, 5] $.

2) Рассматриваем уравнение $ (a^2 - 4)\sin x = a + 2 $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ a^2 - 4 = 0 $. Это происходит при $ a = 2 $ или $ a = -2 $.

Если $ a = 2 $, уравнение принимает вид $ 0 \cdot \sin x = 2 + 2 $, то есть $ 0 = 4 $. Это неверное равенство, следовательно, при $ a = 2 $ решений нет.

Если $ a = -2 $, уравнение принимает вид $ 0 \cdot \sin x = -2 + 2 $, то есть $ 0 = 0 $. Это верное равенство для любого значения $ x $. Следовательно, при $ a = -2 $ уравнение имеет решения.

Случай 2: $ a^2 - 4 \ne 0 $, то есть $ a \ne 2 $ и $ a \ne -2 $.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $ a^2 - 4 $:

$ \sin x = \frac{a + 2}{a^2 - 4} $

Разложим знаменатель на множители и сократим дробь (это возможно, так как $ a+2 \ne 0 $):

$ \sin x = \frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a - 2} $

Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо, чтобы выполнялось условие:

$ -1 \le \frac{1}{a - 2} \le 1 $

Это двойное неравенство можно решить, рассмотрев два случая или преобразовав его. Преобразуем его в эквивалентное неравенство $ \left| \frac{1}{a - 2} \right| \le 1 $, что, в свою очередь, равносильно $ |a - 2| \ge 1 $ (при условии $ a \ne 2 $).

Решим неравенство $ |a - 2| \ge 1 $. Оно распадается на совокупность двух неравенств:

$ a - 2 \ge 1 $ или $ a - 2 \le -1 $

$ a \ge 3 $ или $ a \le 1 $

Итак, во втором случае решения существуют при $ a \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $.

Объединим результаты обоих случаев. Из первого случая мы получили, что $ a = -2 $ является решением. Из второго случая — $ a \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $. Поскольку значение $ a = -2 $ входит в промежуток $ (-\infty, 1] $, то итоговое множество значений $ a $, при которых уравнение имеет решения, есть $ (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $.

Ответ: $ a \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $.

3) Уравнение $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $ имеет решения тогда и только тогда, когда правая часть принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.

$ -1 \le 6a - a^2 - 10 \le 1 $

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} 6a - a^2 - 10 \le 1 \\ 6a - a^2 - 10 \ge -1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ -a^2 + 6a - 11 \le 0 $

$ a^2 - 6a + 11 \ge 0 $

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ a^2 - 6a + 11 $: $ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 $. Поскольку дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ 1 > 0 $), парабола $ y = a^2 - 6a + 11 $ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $ a^2 - 6a + 11 \ge 0 $ выполняется для всех действительных значений $ a $.

Решим второе неравенство:

$ -a^2 + 6a - 9 \ge 0 $

$ a^2 - 6a + 9 \le 0 $

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$ (a - 3)^2 \le 0 $

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $ (a - 3)^2 \ge 0 $. Поэтому неравенство $ (a - 3)^2 \le 0 $ может выполняться только в одном случае, когда $ (a - 3)^2 = 0 $.

$ a - 3 = 0 \implies a = 3 $

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Первое неравенство верно для всех $ a \in (-\infty, +\infty) $, а второе — только при $ a = 3 $. Следовательно, единственное значение $ a $, при котором исходное уравнение имеет решение, это $ a = 3 $.

Ответ: $ a = 3 $.