Номер 230, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Определите графически количество корней уравнения:

1) $ \cos x = 3x $;

2) $ \cos x = 2x^2 - 1 $.

1)Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $ \cos x = 3x $, необходимо построить графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 3x $ и найти количество точек их пересечения.
График функции $ y = \cos x $ — это косинусоида, значения которой лежат в промежутке $ [-1; 1] $.
График функции $ y = 3x $ — это прямая, проходящая через начало координат.
Поскольку значения функции $ \cos x $ ограничены отрезком $ [-1; 1] $, точки пересечения могут существовать только при условии $ -1 \le 3x \le 1 $, то есть при $ - \frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3} $.
Рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x - 3x $. Количество корней исходного уравнения равно количеству нулей этой функции.
Найдем производную этой функции: $ f'(x) = (\cos x - 3x)' = -\sin x - 3 $.
Так как область значений функции синуса $ -1 \le \sin x \le 1 $, то область значений производной $ f'(x) $ находится в пределах $ -4 \le f'(x) \le -2 $.
Поскольку производная $ f'(x) $ всегда отрицательна, функция $ f(x) $ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. обращаться в ноль) не более одного раза.
Чтобы убедиться, что корень существует, проверим значения функции $ f(x) $ на концах отрезка $ [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}] $:
$ f(-\frac{1}{3}) = \cos(-\frac{1}{3}) - 3(-\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{3}) + 1 > 0 $.
$ f(\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{3}) - 1 < 0 $ (поскольку $ \cos x < 1 $ при $ x \ne 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $).
Так как функция $ f(x) $ непрерывна и принимает на концах отрезка $ [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}] $ значения разных знаков, она имеет ровно один корень на этом отрезке.
Следовательно, графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 3x $ пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: 1.

2)Для определения количества корней уравнения $ \cos x = 2x^2 - 1 $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 2x^2 - 1 $.
График функции $ y = \cos x $ — косинусоида. Это четная функция, область ее значений $ [-1; 1] $.
График функции $ y = 2x^2 - 1 $ — парабола с вершиной в точке $ (0; -1) $, ветви которой направлены вверх. Это также четная функция.
Точки пересечения графиков могут существовать только для тех значений $x$, для которых значения параболы $ y = 2x^2 - 1 $ лежат в области значений косинуса, то есть $ -1 \le 2x^2 - 1 \le 1 $.
Решим это двойное неравенство: $ 0 \le 2x^2 \le 2 $, что равносильно $ 0 \le x^2 \le 1 $. Отсюда следует, что $ -1 \le x \le 1 $. Значит, корни уравнения, если они есть, находятся на отрезке $ [-1; 1] $.
Поскольку обе функции, $ y = \cos x $ и $ y = 2x^2 - 1 $, являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если $ x_0 \ne 0 $ является корнем, то и $ -x_0 $ также является корнем.
Рассмотрим поведение функций для $ x \ge 0 $.
При $ x=0 $: $ \cos(0) = 1 $, а $ 2(0)^2 - 1 = -1 $. Значения не равны, следовательно, $ x=0 $ не является корнем.
Рассмотрим разность функций $ g(x) = \cos x - (2x^2 - 1) $ на отрезке $ [0; 1] $.
$ g(0) = \cos(0) - (-1) = 1 + 1 = 2 > 0 $.
$ g(1) = \cos(1) - (2(1)^2 - 1) = \cos(1) - 1 < 0 $.
Так как функция $ g(x) $ непрерывна на $ [0; 1] $ и принимает на его концах значения разных знаков, на интервале $ (0; 1) $ существует как минимум один корень.
Для определения точного количества корней на этом промежутке, найдем производную: $ g'(x) = -\sin x - 4x $.
Для всех $ x \in (0; 1] $, $ \sin x > 0 $ и $ 4x > 0 $, следовательно, $ g'(x) = -(\sin x + 4x) < 0 $.
Поскольку производная отрицательна, функция $ g(x) $ строго убывает на промежутке $ [0; \infty) $. Это значит, что на этом промежутке она может иметь не более одного корня.
Таким образом, на промежутке $ (0; 1] $ существует ровно один корень.
В силу четности обеих функций, существует также ровно один корень на промежутке $ [-1; 0) $.
Всего уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.