Номер 223, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Решите уравнение:

1) $\cos 4x = -1;$

2) $\cos \frac{3x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

3) $\cos \frac{8x}{5} = 0;$

4) $\cos \left(10x - \frac{\pi}{6}\right) = 1;$

5) $\cos(4 - 3x) = -\frac{1}{2};$

6) $\cos \frac{5\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

7) $\cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2};$

8) $\cos(3x - 5) = \frac{\pi}{6};$

9) $2\cos \left(5x + \frac{\pi}{8}\right) - \sqrt{3} = 0;$

10) $6\cos \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0.$

1) $cos(4x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$.

$4x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos\frac{3x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{3x}{2}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{3x}{2} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$3x = \pm \frac{2\pi}{4} + 4\pi k$

$3x = \pm \frac{\pi}{2} + 4\pi k$

Разделим обе части на 3:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $cos\frac{8x}{5} = 0$

Это частный случай. Решение уравнения $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{8x}{5}$.

$\frac{8x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 5:

$8x = \frac{5\pi}{2} + 5\pi k$

Разделим обе части на 8:

$x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi k}{8}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $cos(10x - \frac{\pi}{6}) = 1$

Это частный случай. Решение уравнения $cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 10x - \frac{\pi}{6}$.

$10x - \frac{\pi}{6} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$10x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим обе части на 10:

$x = \frac{\pi}{60} + \frac{2\pi k}{10}$

$x = \frac{\pi}{60} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{60} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

5) $cos(4 - 3x) = -\frac{1}{2}$

Используем свойство четности косинуса $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$, поэтому $cos(4 - 3x) = cos(3x - 4)$.

$cos(3x - 4) = -\frac{1}{2}$

Общее решение: $3x - 4 = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Значение $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

$3x - 4 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Перенесем 4 в правую часть:

$3x = 4 \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

6) $cos\frac{5\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение: $\frac{5\pi x}{6} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

$\frac{5\pi x}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Умножим обе части на $\frac{6}{\pi}$:

$5x = (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cdot \frac{6}{\pi}$

$5x = \pm 1 + 12k$

Разделим обе части на 5:

$x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

7) $cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2}$

Область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$.

Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$.

Поскольку $1.57 > 1$, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

8) $cos(3x - 5) = \frac{\pi}{6}$

Область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$.

Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$.

Поскольку $-1 \le \frac{\pi}{6} \le 1$, уравнение имеет решения.

Общее решение: $3x - 5 = \pm arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Перенесем 5 в правую часть:

$3x = 5 \pm arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{5 \pm arccos(\frac{\pi}{6})}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5 \pm arccos(\frac{\pi}{6})}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

9) $2cos(5x + \frac{\pi}{8}) - \sqrt{3} = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$2cos(5x + \frac{\pi}{8}) = \sqrt{3}$

$cos(5x + \frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение: $5x + \frac{\pi}{8} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

$5x + \frac{\pi}{8} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$5x = -\frac{\pi}{8} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $5x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-3\pi + 4\pi}{24} + 2\pi k = \frac{\pi}{24} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$

2) $5x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-3\pi - 4\pi}{24} + 2\pi k = -\frac{7\pi}{24} + 2\pi k$

$x = -\frac{7\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$, $x = -\frac{7\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

10) $6cos(4x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

Преобразуем уравнение:

$6cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$cos(4x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{6}$

Общее решение: $4x - \frac{\pi}{4} = \pm arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$4x = \frac{\pi}{4} \pm arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}arccos(\frac{1}{6}) + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}arccos(\frac{1}{6}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}arccos(\frac{1}{6}) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.