Номер 217, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Преобразуйте в произведение:

1) $2\cos\alpha - 1$;

2) $\sqrt{3} + 2\sin\alpha$.

1) Для преобразования выражения $2\cos\alpha - 1$ в произведение, представим число 1 через функцию косинуса. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, следовательно, $1 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\cos(\frac{\pi}{3})$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$2\cos\alpha - 1 = 2\cos\alpha - 2\cos(\frac{\pi}{3})$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3}))$

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$. Применим формулу:

$2 \cdot \left(-2\sin\left(\frac{\alpha + \frac{\pi}{3}}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \frac{\pi}{3}}{2}\right)\right) = -4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, можно преобразовать второй множитель: $\sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$.

Тогда выражение примет вид:

$-4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\left(-\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

2) Для преобразования выражения $\sqrt{3} + 2\sin\alpha$ в произведение, представим число $\sqrt{3}$ через функцию синуса. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sin(\frac{\pi}{3})$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sqrt{3} + 2\sin\alpha = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + 2\sin\alpha$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$. Применим формулу:

$2 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$