Номер 214, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. Докажите, что $\cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha = \frac{\sin 16\alpha}{8\sin 2\alpha}$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Основной тригонометрической формулой, которую мы будем использовать, является формула синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.

Рассмотрим левую часть равенства: $ \cos(2\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha) $.

Чтобы можно было применить формулу синуса двойного угла, умножим и разделим это выражение на $ 2\sin(2\alpha) $. Это преобразование является корректным при условии, что $ \sin(2\alpha) \neq 0 $, то есть $ 2\alpha \neq \pi k $, где $ k $ — любое целое число. Отметим, что при этих значениях $ \alpha $ правая часть исходного тождества не определена, поэтому мы рассматриваем тождество в области его определения.

$ \cos(2\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha) = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{2\sin(2\alpha)} $

В числителе дроби произведение $ 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $ по формуле синуса двойного угла равно $ \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin(4\alpha) $. Подставим это в наше выражение:

$ \frac{\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{2\sin(2\alpha)} $

Теперь в числителе мы видим похожую структуру $ \sin(4\alpha)\cos(4\alpha) $. Снова применим тот же приём: умножим числитель и знаменатель на 2.

$ \frac{2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{2 \cdot 2\sin(2\alpha)} = \frac{2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{4\sin(2\alpha)} $

Выражение $ 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha) $ в числителе равно $ \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin(8\alpha) $. Заменим его:

$ \frac{\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)}{4\sin(2\alpha)} $

Повторим операцию в последний раз: умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы применить формулу к выражению $ \sin(8\alpha)\cos(8\alpha) $.

$ \frac{2\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)}{2 \cdot 4\sin(2\alpha)} = \frac{2\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)}{8\sin(2\alpha)} $

Используя формулу синуса двойного угла для $ 2\sin(8\alpha)\cos(8\alpha) $, получаем $ \sin(2 \cdot 8\alpha) = \sin(16\alpha) $.

В итоге, выражение преобразуется к виду:

$ \frac{\sin(16\alpha)}{8\sin(2\alpha)} $

Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.