Номер 216, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 35^\circ - \cos 75^\circ;$

2) $\sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{12};$

3) $\cos 2\alpha + \sin \alpha.$

1) $sin35° - cos75°$

Для преобразования разности в произведение, необходимо привести тригонометрические функции к одному наименованию. Воспользуемся формулой приведения $cos(x) = sin(90° - x)$.

Применим ее к $cos(75°)$:

$cos(75°) = sin(90° - 75°) = sin(15°)$

Теперь исходное выражение выглядит как разность синусов:

$sin(35°) - sin(15°)$

Далее применим формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2 \cdot cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) \cdot sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

В нашем случае $\alpha = 35°$ и $\beta = 15°$.

$sin(35°) - sin(15°) = 2 \cdot cos(\frac{35°+15°}{2}) \cdot sin(\frac{35°-15°}{2}) = 2 \cdot cos(\frac{50°}{2}) \cdot sin(\frac{20°}{2}) = 2 \cdot cos(25°) \cdot sin(10°)$.

Ответ: $2cos(25°)sin(10°)$.

2) $sin\frac{\pi}{8} + cos\frac{\pi}{12}$

Сначала приведем слагаемые к одной тригонометрической функции. Используем формулу приведения для косинуса $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

$cos(\frac{\pi}{12}) = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = sin(\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = sin(\frac{5\pi}{12})$

Теперь выражение принимает вид суммы синусов:

$sin(\frac{\pi}{8}) + sin(\frac{5\pi}{12})$

Применим формулу суммы синусов: $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2 \cdot sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) \cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$. Найдем полусумму и полуразность аргументов, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{24} + \frac{10\pi}{24}}{2} = \frac{\frac{13\pi}{24}}{2} = \frac{13\pi}{48}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{24} - \frac{10\pi}{24}}{2} = \frac{-\frac{7\pi}{24}}{2} = -\frac{7\pi}{48}$

Подставляем полученные значения в формулу:

$2 \cdot sin(\frac{13\pi}{48}) \cdot cos(-\frac{7\pi}{48})$

Так как косинус является четной функцией, то $cos(-x) = cos(x)$. Окончательно получаем:

$2 \cdot sin(\frac{13\pi}{48}) \cdot cos(\frac{7\pi}{48})$

Ответ: $2sin(\frac{13\pi}{48})cos(\frac{7\pi}{48})$.

3) $cos2\alpha + sin\alpha$

Чтобы использовать формулы преобразования суммы в произведение, приведем функции к одному наименованию. Используем формулу приведения $sin(\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Тогда выражение можно записать в виде суммы косинусов:

$cos(2\alpha) + cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Применим формулу суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2 \cdot cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) \cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

В данном случае $\alpha$ из формулы равно $2\alpha$, а $\beta$ из формулы равно $\frac{\pi}{2} - \alpha$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{2\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{2\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = \frac{3\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$

Подставляя эти значения в формулу, получаем произведение:

$2 \cdot cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}) \cdot cos(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$

Ответ: $2cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})cos(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$.