Номер 210, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. Дано: $ \text{tg } \alpha = -2 $, $ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $. Найдите:

1) $ \text{sin } 2\alpha $;

2) $ \text{cos } 2\alpha $;

3) $ \text{tg } 2\alpha $.

По условию $270° < \alpha < 360°$, следовательно, угол $\alpha$ находится в IV координатной четверти. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, а $\cos\alpha > 0$. Значение $\text{tg}\alpha = -2$ соответствует этой четверти.

Для нахождения искомых величин можно использовать формулы двойного угла, которые выражаются через тангенс. Однако, для полноты решения, сначала найдем значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Подставим данное значение $\text{tg}\alpha = -2$:

$1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$5 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \Rightarrow \cos^2\alpha = \frac{1}{5}$

Так как $\alpha$ находится в IV четверти, $\cos\alpha > 0$, поэтому $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Теперь найдем $\sin\alpha$, используя определение тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Теперь, имея значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, мы можем вычислить требуемые величины.

1) sin2α;

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{4}{5}$.

Альтернативный способ: можно было сразу использовать формулу $\sin(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{2 \cdot (-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{1+4} = -\frac{4}{5}$.

Ответ: $-\frac{4}{5}$.

2) cos2α;

Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через тангенс: $\cos(2\alpha) = \frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha}$.

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$.

Альтернативный способ: можно было использовать формулу $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

3) tg2α.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$.

$\text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot (-2)}{1 - (-2)^2} = \frac{-4}{1 - 4} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.

Альтернативный способ: можно было найти тангенс как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.