Номер 203, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $\sin 12\alpha$;

2) $\sin \frac{\alpha}{2}$;

3) $\cos 7\alpha$;

4) $\operatorname{tg} 4\alpha$;

5) $\cos (\alpha + \beta)$;

6) $\cos 4$;

7) $\sin (\beta + 108^{\circ})$;

8) $\cos \left( \frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3} \right)$.

1) Для преобразования выражения $sin(12\alpha)$ используется формула синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Чтобы применить эту формулу, представим угол $12\alpha$ в виде $2 \cdot 6\alpha$. В этом случае аргумент $x$ нашей формулы равен $6\alpha$. Подставим $6\alpha$ вместо $x$ в формулу синуса двойного угла: $sin(12\alpha) = sin(2 \cdot 6\alpha) = 2sin(6\alpha)cos(6\alpha)$.
Ответ: $2sin(6\alpha)cos(6\alpha)$.

2) Для выражения $sin(\frac{\alpha}{2})$ применим ту же формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Представим угол $\frac{\alpha}{2}$ как произведение $2 \cdot \frac{\alpha}{4}$. Тогда $x = \frac{\alpha}{4}$. Применяя формулу, получаем: $sin(\frac{\alpha}{2}) = sin(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$.
Ответ: $2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$.

3) Для выражения $cos(7\alpha)$ применим формулу косинуса двойного угла. У этой формулы есть три основные формы: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$, $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$, $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$. Представим угол $7\alpha$ в виде $2 \cdot \frac{7\alpha}{2}$. В этом случае $x = \frac{7\alpha}{2}$. Используя первую формулу, получаем: $cos(7\alpha) = cos(2 \cdot \frac{7\alpha}{2}) = cos^2(\frac{7\alpha}{2}) - sin^2(\frac{7\alpha}{2})$.
Ответ: $cos^2(\frac{7\alpha}{2}) - sin^2(\frac{7\alpha}{2})$.

4) Для выражения $tg(4\alpha)$ используется формула тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$. Представим угол $4\alpha$ как $2 \cdot 2\alpha$. В этом случае $x = 2\alpha$. Подставив $2\alpha$ в формулу, получим: $tg(4\alpha) = tg(2 \cdot 2\alpha) = \frac{2tg(2\alpha)}{1 - tg^2(2\alpha)}$.
Ответ: $\frac{2tg(2\alpha)}{1 - tg^2(2\alpha)}$.

5) Для выражения $cos(\alpha + \beta)$ применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Представим угол $(\alpha + \beta)$ в виде $2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}$. Тогда $x = \frac{\alpha + \beta}{2}$. Применяя формулу, получаем: $cos(\alpha + \beta) = cos(2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}) = cos^2(\frac{\alpha + \beta}{2}) - sin^2(\frac{\alpha + \beta}{2})$.
Ответ: $cos^2(\frac{\alpha + \beta}{2}) - sin^2(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

6) Для выражения $cos(4)$ (где 4 — это угол в радианах) применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Представим угол $4$ как $2 \cdot 2$. В данном случае $x = 2$. Подставим значение в формулу: $cos(4) = cos(2 \cdot 2) = cos^2(2) - sin^2(2)$.
Ответ: $cos^2(2) - sin^2(2)$.

7) Для выражения $sin(\beta + 108^\circ)$ применим формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Представим угол $(\beta + 108^\circ)$ в виде $2 \cdot \frac{\beta + 108^\circ}{2}$, что равно $2 \cdot (\frac{\beta}{2} + 54^\circ)$. Здесь $x = \frac{\beta}{2} + 54^\circ$. Применяя формулу, получаем: $sin(\beta + 108^\circ) = 2sin(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)cos(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)$.
Ответ: $2sin(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)cos(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)$.

8) Для выражения $cos(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3})$ применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Представим угол $(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3})$ как $2 \cdot (\frac{1}{2}(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3})) = 2 \cdot (\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3})$. В этом случае $x = \frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3}$. Подставляя в формулу, получаем: $cos(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3}) = cos^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3}) - sin^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $cos^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3}) - sin^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3})$.