Номер 197, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Упростите выражение:

1) $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)$;

2) $\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)$;

3) $\operatorname{tg}(\pi+\alpha)$;

4) $\operatorname{tg}(\alpha-\pi)$;

5) $\cos^2(\pi-\alpha)$;

6) $\operatorname{ctg}^2\left(270^{\circ}+\alpha\right)$.

1) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ используются формулы приведения. Правило для их применения состоит из двух шагов:
1. Определение знака. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в III координатной четверти. Косинус в этой четверти имеет знак «минус».
2. Определение функции. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, тригонометрическая функция меняется на кофункцию, то есть $ \cos $ меняется на $ \sin $.
Совмещая оба правила, получаем: $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

2) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $ используются формулы приведения.
1. Определение знака. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в IV координатной четверти. Синус в этой четверти имеет знак «минус».
2. Определение функции. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию, то есть $ \sin $ меняется на $ \cos $.
Следовательно, $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ \text{tg}(\pi + \alpha) $ можно использовать свойство периодичности тангенса. Период функции $ y = \text{tg}(x) $ равен $ \pi $. Это означает, что $ \text{tg}(x + k\pi) = \text{tg}(x) $ для любого целого $ k $. В данном случае $ k=1 $.
Таким образом, $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $.
Также можно применить формулы приведения: угол $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен, а прибавление $ \pi $ не меняет функцию.
Ответ: $ \text{tg}(\alpha) $

4) Для упрощения выражения $ \text{tg}(\alpha - \pi) $ также используется свойство периодичности тангенса с периодом $ \pi $.
$ \text{tg}(\alpha - \pi) = \text{tg}(\alpha - \pi + \pi) = \text{tg}(\alpha) $.
Другой способ — использовать нечетность тангенса ($ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $) и формулы приведения:
$ \text{tg}(\alpha - \pi) = \text{tg}(-(\pi - \alpha)) = -\text{tg}(\pi - \alpha) $.
Поскольку $ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (II четверть), то получаем $ -(-\text{tg}(\alpha)) = \text{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ \text{tg}(\alpha) $

5) Для упрощения выражения $ \cos^2(\pi - \alpha) $ сначала упростим $ \cos(\pi - \alpha) $ с помощью формул приведения, а затем возведем результат в квадрат.
1. Угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
2. Прибавление $ \pi $ не меняет функцию.
Значит, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Теперь возводим в квадрат: $ \cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $

6) Для упрощения выражения $ \text{ctg}^2(270^\circ + \alpha) $ сначала упростим $ \text{ctg}(270^\circ + \alpha) $, а затем возведем результат в квадрат.
1. Угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен.
2. Поскольку в аргументе присутствует $ 270^\circ $ (аналогично $ \frac{3\pi}{2} $), функция меняется на кофункцию, то есть $ \text{ctg} $ меняется на $ \text{tg} $.
Значит, $ \text{ctg}(270^\circ + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
Теперь возводим в квадрат: $ \text{ctg}^2(270^\circ + \alpha) = (-\text{tg}(\alpha))^2 = \text{tg}^2(\alpha) $.
Ответ: $ \text{tg}^2(\alpha) $