Номер 198, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или $ \frac{\pi}{4} $):

1) $ \cos 127^\circ $;

2) $ \sin 219^\circ $;

3) $ \operatorname{ctg} 194^\circ $;

4) $ \operatorname{tg} (-298^\circ) $;

5) $ \cos 1,2\pi $;

6) $ \sin \left(-\frac{5\pi}{9}\right) $;

7) $ \operatorname{tg} 4,3\pi $;

8) $ \operatorname{ctg} \frac{21\pi}{8} $.

1) Чтобы привести $\cos 127^\circ$ к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего $45^\circ$, воспользуемся формулами приведения. Угол $127^\circ$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Представим $127^\circ$ как $90^\circ + 37^\circ$.
$\cos 127^\circ = \cos(90^\circ + 37^\circ) = -\sin 37^\circ$.
Аргумент $37^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-\sin 37^\circ$.

2) Угол $219^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
Представим $219^\circ$ как $180^\circ + 39^\circ$.
$\sin 219^\circ = \sin(180^\circ + 39^\circ) = -\sin 39^\circ$.
Аргумент $39^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-\sin 39^\circ$.

3) Угол $194^\circ$ находится в III четверти, где котангенс положителен.
Представим $194^\circ$ как $180^\circ + 14^\circ$.
$\text{ctg } 194^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 14^\circ) = \text{ctg } 14^\circ$.
Аргумент $14^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $\text{ctg } 14^\circ$.

4) Сначала воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.
$\text{tg}(-298^\circ) = -\text{tg } 298^\circ$.
Угол $298^\circ$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Представим $298^\circ$ как $270^\circ + 28^\circ$.
$-\text{tg } 298^\circ = -\text{tg}(270^\circ + 28^\circ) = -(-\text{ctg } 28^\circ) = \text{ctg } 28^\circ$.
Аргумент $28^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $\text{ctg } 28^\circ$.

5) Угол $1,2\pi$ находится в III четверти, так как $\pi < 1,2\pi < 1,5\pi$. В этой четверти косинус отрицателен.
Представим $1,2\pi$ как $\pi + 0,2\pi$.
$\cos(1,2\pi) = \cos(\pi + 0,2\pi) = -\cos(0,2\pi)$.
Аргумент $0,2\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4} = 0,25\pi$.
Ответ: $-\cos(0,2\pi)$.

6) Воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin\left(-\frac{5\pi}{9}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right)$.
Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$. В этой четверти синус положителен.
Представим $\frac{5\pi}{9}$ как $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}$.
$-\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)$.
Аргумент $\frac{\pi}{18}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)$.

7) Период тангенса равен $\pi$.
$\text{tg}(4,3\pi) = \text{tg}(4\pi + 0,3\pi) = \text{tg}(0,3\pi)$.
Аргумент $0,3\pi$ больше, чем $\frac{\pi}{4} = 0,25\pi$. Применим формулу приведения для кофункции: $\text{tg}(\alpha) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.
$\text{tg}(0,3\pi) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 0,3\pi\right) = \text{ctg}(0,5\pi - 0,3\pi) = \text{ctg}(0,2\pi)$.
Аргумент $0,2\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\text{ctg}(0,2\pi)$.

8) Период котангенса равен $\pi$.
$\text{ctg}\left(\frac{21\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(\frac{16\pi + 5\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{5\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{8}\right)$.
Угол $\frac{5\pi}{8}$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Представим $\frac{5\pi}{8}$ как $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.
$\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\text{tg}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.