Номер 202, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Упростите выражение:

1) $\text{ctg } 20^\circ + \text{ctg } 40^\circ + \text{ctg } 60^\circ + \dots + \text{ctg } 160^\circ$;

2) $\text{tg } 29^\circ \text{ tg } 30^\circ \text{ tg } 31^\circ \dots \text{ tg } 61^\circ$.

1)

Рассмотрим выражение $S = \operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ + \dots + \operatorname{ctg} 160^\circ$.

Аргументы котангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Выпишем все члены суммы, чтобы увидеть их структуру:

$S = \operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ + \operatorname{ctg} 80^\circ + \operatorname{ctg} 100^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ + \operatorname{ctg} 140^\circ + \operatorname{ctg} 160^\circ$.

Для упрощения воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.

Сгруппируем слагаемые попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.

$S = (\operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 160^\circ) + (\operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 140^\circ) + (\operatorname{ctg} 60^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ) + (\operatorname{ctg} 80^\circ + \operatorname{ctg} 100^\circ)$.

Теперь упростим каждую скобку, применяя формулу:

• $\operatorname{ctg} 160^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{ctg} 20^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 160^\circ = \operatorname{ctg} 20^\circ - \operatorname{ctg} 20^\circ = 0$.
• $\operatorname{ctg} 140^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 40^\circ) = -\operatorname{ctg} 40^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 140^\circ = \operatorname{ctg} 40^\circ - \operatorname{ctg} 40^\circ = 0$.
• $\operatorname{ctg} 120^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 60^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ = \operatorname{ctg} 60^\circ - \operatorname{ctg} 60^\circ = 0$.
• $\operatorname{ctg} 100^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 80^\circ) = -\operatorname{ctg} 80^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 80^\circ + \operatorname{ctg} 100^\circ = \operatorname{ctg} 80^\circ - \operatorname{ctg} 80^\circ = 0$.

Сумма всех пар равна нулю:

$S = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

2)

Рассмотрим выражение $P = \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 31^\circ \cdot \dots \cdot \operatorname{tg} 61^\circ$.

Это произведение тангенсов, углы которых образуют арифметическую прогрессию от $29^\circ$ до $61^\circ$ с шагом $1^\circ$.

Для упрощения воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители попарно так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $90^\circ$. Для этого будем умножать первый множитель на последний, второй на предпоследний и т.д.

$P = (\operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 61^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ) \cdot \dots$

Рассмотрим произведение в одной такой паре:

$\operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 61^\circ = \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg}(90^\circ - 29^\circ) = \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{ctg} 29^\circ = 1$.

Аналогично, $\operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 1$, и так для всех пар.

Определим количество множителей в произведении: $61 - 29 + 1 = 33$. Так как количество множителей нечетное, один из них останется без пары. Это будет центральный член последовательности. Его угол равен среднему арифметическому первого и последнего углов: $\frac{29^\circ + 61^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Таким образом, все множители, кроме центрального $\operatorname{tg} 45^\circ$, разбиваются на $16$ пар, произведение в каждой из которых равно $1$.

Выражение можно представить в виде:

$P = (\operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 61^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ) \cdot \dots \cdot (\operatorname{tg} 44^\circ \cdot \operatorname{tg} 46^\circ) \cdot \operatorname{tg} 45^\circ$.

Произведение всех пар равно $1^{16} = 1$.

Значение центрального члена: $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Итоговое значение всего произведения:

$P = 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $1$.