Страница 139 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или $ \frac{\pi}{4} $):

1) $ \cos 127^\circ $;

2) $ \sin 219^\circ $;

3) $ \operatorname{ctg} 194^\circ $;

4) $ \operatorname{tg} (-298^\circ) $;

5) $ \cos 1,2\pi $;

6) $ \sin \left(-\frac{5\pi}{9}\right) $;

7) $ \operatorname{tg} 4,3\pi $;

8) $ \operatorname{ctg} \frac{21\pi}{8} $.

1) Чтобы привести $\cos 127^\circ$ к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего $45^\circ$, воспользуемся формулами приведения. Угол $127^\circ$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Представим $127^\circ$ как $90^\circ + 37^\circ$.
$\cos 127^\circ = \cos(90^\circ + 37^\circ) = -\sin 37^\circ$.
Аргумент $37^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-\sin 37^\circ$.

2) Угол $219^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
Представим $219^\circ$ как $180^\circ + 39^\circ$.
$\sin 219^\circ = \sin(180^\circ + 39^\circ) = -\sin 39^\circ$.
Аргумент $39^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-\sin 39^\circ$.

3) Угол $194^\circ$ находится в III четверти, где котангенс положителен.
Представим $194^\circ$ как $180^\circ + 14^\circ$.
$\text{ctg } 194^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 14^\circ) = \text{ctg } 14^\circ$.
Аргумент $14^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $\text{ctg } 14^\circ$.

4) Сначала воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.
$\text{tg}(-298^\circ) = -\text{tg } 298^\circ$.
Угол $298^\circ$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Представим $298^\circ$ как $270^\circ + 28^\circ$.
$-\text{tg } 298^\circ = -\text{tg}(270^\circ + 28^\circ) = -(-\text{ctg } 28^\circ) = \text{ctg } 28^\circ$.
Аргумент $28^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $\text{ctg } 28^\circ$.

5) Угол $1,2\pi$ находится в III четверти, так как $\pi < 1,2\pi < 1,5\pi$. В этой четверти косинус отрицателен.
Представим $1,2\pi$ как $\pi + 0,2\pi$.
$\cos(1,2\pi) = \cos(\pi + 0,2\pi) = -\cos(0,2\pi)$.
Аргумент $0,2\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4} = 0,25\pi$.
Ответ: $-\cos(0,2\pi)$.

6) Воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin\left(-\frac{5\pi}{9}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right)$.
Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$. В этой четверти синус положителен.
Представим $\frac{5\pi}{9}$ как $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}$.
$-\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)$.
Аргумент $\frac{\pi}{18}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)$.

7) Период тангенса равен $\pi$.
$\text{tg}(4,3\pi) = \text{tg}(4\pi + 0,3\pi) = \text{tg}(0,3\pi)$.
Аргумент $0,3\pi$ больше, чем $\frac{\pi}{4} = 0,25\pi$. Применим формулу приведения для кофункции: $\text{tg}(\alpha) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.
$\text{tg}(0,3\pi) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 0,3\pi\right) = \text{ctg}(0,5\pi - 0,3\pi) = \text{ctg}(0,2\pi)$.
Аргумент $0,2\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\text{ctg}(0,2\pi)$.

8) Период котангенса равен $\pi$.
$\text{ctg}\left(\frac{21\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(\frac{16\pi + 5\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{5\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{8}\right)$.
Угол $\frac{5\pi}{8}$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Представим $\frac{5\pi}{8}$ как $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.
$\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\text{tg}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.

199. Вычислите:

1) $\sin 210^\circ$;

2) $\cos (-315^\circ)$;

3) $\sin \left(-\frac{7\pi}{3}\right)$;

4) $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{4}$;

5) $\cos 855^\circ$;

6) $\sin \frac{37\pi}{6}$.

1) Для вычисления $sin(210°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $210°$ находится в III четверти. Представим $210°$ как $180° + 30°$.
$sin(210°) = sin(180° + 30°)$
Согласно формуле приведения $sin(180° + \alpha) = -sin(\alpha)$.
Следовательно, $sin(180° + 30°) = -sin(30°)$.
Так как $sin(30°) = \frac{1}{2}$, то $sin(210°) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Для вычисления $cos(-315°)$ используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(-315°) = cos(315°)$
Угол $315°$ находится в IV четверти. Представим $315°$ как $360° - 45°$.
$cos(315°) = cos(360° - 45°)$
Согласно формуле приведения $cos(360° - \alpha) = cos(\alpha)$.
Следовательно, $cos(360° - 45°) = cos(45°)$.
Так как $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $cos(-315°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Для вычисления $sin(-\frac{7\pi}{3})$ используем свойство нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(-\frac{7\pi}{3}) = -sin(\frac{7\pi}{3})$
Период функции синус равен $2\pi$. Выделим целое число периодов из угла $\frac{7\pi}{3}$.
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$
$-sin(\frac{7\pi}{3}) = -sin(2\pi + \frac{\pi}{3})$
Используя периодичность синуса $sin(2\pi + \alpha) = sin(\alpha)$, получаем:
$-sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$
Так как $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Для вычисления $tg(\frac{7\pi}{4})$ используем периодичность тангенса. Период тангенса равен $\pi$.
Представим угол $\frac{7\pi}{4}$ как $\frac{8\pi - \pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$.
$tg(\frac{7\pi}{4}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{4})$
Так как $2\pi$ является периодом для тангенса ($2\pi = 2 \cdot \pi$), то $tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = tg(-\frac{\pi}{4})$.
Тангенс - нечетная функция, поэтому $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
$tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4})$
Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $tg(\frac{7\pi}{4}) = -1$.
Ответ: $-1$

5) Для вычисления $cos(855°)$ используем периодичность косинуса. Период косинуса равен $360°$.
Выделим целое число периодов в угле $855°$.
$855° = 2 \cdot 360° + 135° = 720° + 135°$
$cos(855°) = cos(2 \cdot 360° + 135°)$
Используя периодичность косинуса $cos(k \cdot 360° + \alpha) = cos(\alpha)$, получаем:
$cos(135°)$
Угол $135°$ находится во II четверти. Представим его как $180° - 45°$.
$cos(135°) = cos(180° - 45°)$
По формуле приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$.
$cos(180° - 45°) = -cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

6) Для вычисления $sin(\frac{37\pi}{6})$ используем периодичность синуса. Период синуса равен $2\pi$.
Выделим целое число периодов из угла $\frac{37\pi}{6}$.
$\frac{37\pi}{6} = \frac{36\pi + \pi}{6} = 6\pi + \frac{\pi}{6} = 3 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{6}$
$sin(\frac{37\pi}{6}) = sin(3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{6})$
Используя периодичность синуса $sin(k \cdot 2\pi + \alpha) = sin(\alpha)$, получаем:
$sin(\frac{\pi}{6})$
Так как $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то $sin(\frac{37\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

200. Найдите значение выражения:

1) $3\text{ctg } 135^\circ + 2\text{cos } 120^\circ + \text{tg } 420^\circ + 2\text{sin } 300^\circ;$

2) $\text{sin }\frac{7\pi}{4} \text{cos }\frac{7\pi}{6} \text{tg }\left(-\frac{5\pi}{3}\right)\text{ctg }\frac{4\pi}{3};$

3) $\text{sin } 200^\circ \text{sin } 310^\circ + \text{cos } 340^\circ \text{cos } 50^\circ;$

4) $\frac{\text{cos } 115^\circ \text{cos } 188^\circ + \text{sin } 8^\circ \text{cos } 25^\circ}{\text{sin } 138^\circ \text{cos } 9^\circ + \text{sin } 189^\circ \text{cos } 42^\circ}.$

1) Для нахождения значения выражения $3\text{ctg} 135^\circ + 2\cos 120^\circ + \text{tg} 420^\circ + 2\sin 300^\circ$ воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций для основных углов.
Вычислим значение каждого слагаемого:
$\text{ctg} 135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg} 45^\circ = -1$.
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -{1 \over 2}$.
$\text{tg} 420^\circ = \text{tg}(360^\circ + 60^\circ) = \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.
$\sin 300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -{\sqrt{3} \over 2}$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$3 \cdot (-1) + 2 \cdot (-{1 \over 2}) + \sqrt{3} + 2 \cdot (-{\sqrt{3} \over 2}) = -3 - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = -4$.
Ответ: $-4$.

2) Найдем значение выражения $\sin{7\pi \over 4}\cos{7\pi \over 6}\text{tg}(-{5\pi \over 3})\text{ctg}{4\pi \over 3}$.
Вычислим значение каждого множителя, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций:
$\sin{7\pi \over 4} = \sin(2\pi - {\pi \over 4}) = -\sin{\pi \over 4} = -{\sqrt{2} \over 2}$.
$\cos{7\pi \over 6} = \cos(\pi + {\pi \over 6}) = -\cos{\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2}$.
$\text{tg}(-{5\pi \over 3}) = -\text{tg}{5\pi \over 3} = -\text{tg}(2\pi - {\pi \over 3}) = -(-\text{tg}{\pi \over 3}) = \text{tg}{\pi \over 3} = \sqrt{3}$.
$\text{ctg}{4\pi \over 3} = \text{ctg}(\pi + {\pi \over 3}) = \text{ctg}{\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}}$.
Перемножим полученные значения:
$(-{\sqrt{2} \over 2}) \cdot (-{\sqrt{3} \over 2}) \cdot \sqrt{3} \cdot {1 \over \sqrt{3}} = {\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \over 4} = {\sqrt{6} \over 4}$.
Ответ: ${\sqrt{6} \over 4}$.

3) Требуется найти значение выражения $\sin 200^\circ \sin 310^\circ + \cos 340^\circ \cos 50^\circ$.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
Приведем аргументы тригонометрических функций к углам, которые позволят использовать формулу:
$\sin 200^\circ = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$.
$\sin 310^\circ = \sin(360^\circ - 50^\circ) = -\sin 50^\circ$.
$\cos 340^\circ = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$.
Подставим преобразованные значения в исходное выражение:
$(-\sin 20^\circ)(-\sin 50^\circ) + \cos 20^\circ \cos 50^\circ = \sin 20^\circ \sin 50^\circ + \cos 20^\circ \cos 50^\circ$.
Переставим множители для соответствия формуле: $\cos 50^\circ \cos 20^\circ + \sin 50^\circ \sin 20^\circ$.
Это выражение соответствует формуле косинуса разности, где $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.
$\cos 50^\circ \cos 20^\circ + \sin 50^\circ \sin 20^\circ = \cos(50^\circ - 20^\circ) = \cos 30^\circ = {\sqrt{3} \over 2}$.
Ответ: ${\sqrt{3} \over 2}$.

4) Найдем значение выражения ${\cos 115^\circ \cos 188^\circ + \sin 8^\circ \cos 25^\circ \over \sin 138^\circ \cos 9^\circ + \sin 189^\circ \cos 42^\circ}$.
Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель, применяя формулы приведения.
Числитель: $\cos 115^\circ \cos 188^\circ + \sin 8^\circ \cos 25^\circ$.
$\cos 115^\circ = \cos(90^\circ + 25^\circ) = -\sin 25^\circ$.
$\cos 188^\circ = \cos(180^\circ + 8^\circ) = -\cos 8^\circ$.
Подставляем: $(-\sin 25^\circ)(-\cos 8^\circ) + \sin 8^\circ \cos 25^\circ = \sin 25^\circ \cos 8^\circ + \cos 25^\circ \sin 8^\circ$.
Это формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Таким образом, числитель равен $\sin(25^\circ + 8^\circ) = \sin 33^\circ$.
Знаменатель: $\sin 138^\circ \cos 9^\circ + \sin 189^\circ \cos 42^\circ$.
$\sin 138^\circ = \sin(180^\circ - 42^\circ) = \sin 42^\circ$.
$\sin 189^\circ = \sin(180^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ$.
Подставляем: $\sin 42^\circ \cos 9^\circ + (-\sin 9^\circ) \cos 42^\circ = \sin 42^\circ \cos 9^\circ - \cos 42^\circ \sin 9^\circ$.
Это формула синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
Таким образом, знаменатель равен $\sin(42^\circ - 9^\circ) = \sin 33^\circ$.
Теперь найдем значение всей дроби:
${\sin 33^\circ \over \sin 33^\circ} = 1$.
Ответ: $1$.

201. Упростите выражение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \cos(\pi + \alpha) + \text{ctg}(2\pi - \alpha) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right);$

2) $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) \cos(3\pi - \alpha) + \sin\left(\alpha + \frac{5\pi}{2}\right) \sin(3\pi + \alpha);$

3) $\frac{\sin(\pi - \beta)\cos(\pi + \beta)\text{tg}(\pi - \beta)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)}.$

202. Упростите выражение:

1) $\text{ctg } 20^\circ + \text{ctg } 40^\circ + \text{ctg } 60^\circ + \dots + \text{ctg } 160^\circ$;

2) $\text{tg } 29^\circ \text{ tg } 30^\circ \text{ tg } 31^\circ \dots \text{ tg } 61^\circ$.

1)

Рассмотрим выражение $S = \operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ + \dots + \operatorname{ctg} 160^\circ$.

Аргументы котангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Выпишем все члены суммы, чтобы увидеть их структуру:

$S = \operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ + \operatorname{ctg} 80^\circ + \operatorname{ctg} 100^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ + \operatorname{ctg} 140^\circ + \operatorname{ctg} 160^\circ$.

Для упрощения воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.

Сгруппируем слагаемые попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.

$S = (\operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 160^\circ) + (\operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 140^\circ) + (\operatorname{ctg} 60^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ) + (\operatorname{ctg} 80^\circ + \operatorname{ctg} 100^\circ)$.

Теперь упростим каждую скобку, применяя формулу:

• $\operatorname{ctg} 160^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{ctg} 20^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 160^\circ = \operatorname{ctg} 20^\circ - \operatorname{ctg} 20^\circ = 0$.
• $\operatorname{ctg} 140^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 40^\circ) = -\operatorname{ctg} 40^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 140^\circ = \operatorname{ctg} 40^\circ - \operatorname{ctg} 40^\circ = 0$.
• $\operatorname{ctg} 120^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 60^\circ + \operatorname{ctg} 120^\circ = \operatorname{ctg} 60^\circ - \operatorname{ctg} 60^\circ = 0$.
• $\operatorname{ctg} 100^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 80^\circ) = -\operatorname{ctg} 80^\circ$.
  Тогда $\operatorname{ctg} 80^\circ + \operatorname{ctg} 100^\circ = \operatorname{ctg} 80^\circ - \operatorname{ctg} 80^\circ = 0$.

Сумма всех пар равна нулю:

$S = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

2)

Рассмотрим выражение $P = \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 31^\circ \cdot \dots \cdot \operatorname{tg} 61^\circ$.

Это произведение тангенсов, углы которых образуют арифметическую прогрессию от $29^\circ$ до $61^\circ$ с шагом $1^\circ$.

Для упрощения воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители попарно так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $90^\circ$. Для этого будем умножать первый множитель на последний, второй на предпоследний и т.д.

$P = (\operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 61^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ) \cdot \dots$

Рассмотрим произведение в одной такой паре:

$\operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 61^\circ = \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg}(90^\circ - 29^\circ) = \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{ctg} 29^\circ = 1$.

Аналогично, $\operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 1$, и так для всех пар.

Определим количество множителей в произведении: $61 - 29 + 1 = 33$. Так как количество множителей нечетное, один из них останется без пары. Это будет центральный член последовательности. Его угол равен среднему арифметическому первого и последнего углов: $\frac{29^\circ + 61^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Таким образом, все множители, кроме центрального $\operatorname{tg} 45^\circ$, разбиваются на $16$ пар, произведение в каждой из которых равно $1$.

Выражение можно представить в виде:

$P = (\operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 61^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ) \cdot \dots \cdot (\operatorname{tg} 44^\circ \cdot \operatorname{tg} 46^\circ) \cdot \operatorname{tg} 45^\circ$.

Произведение всех пар равно $1^{16} = 1$.

Значение центрального члена: $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Итоговое значение всего произведения:

$P = 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $1$.