Номер 199, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Вычислите:

1) $\sin 210^\circ$;

2) $\cos (-315^\circ)$;

3) $\sin \left(-\frac{7\pi}{3}\right)$;

4) $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{4}$;

5) $\cos 855^\circ$;

6) $\sin \frac{37\pi}{6}$.

1) Для вычисления $sin(210°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $210°$ находится в III четверти. Представим $210°$ как $180° + 30°$.
$sin(210°) = sin(180° + 30°)$
Согласно формуле приведения $sin(180° + \alpha) = -sin(\alpha)$.
Следовательно, $sin(180° + 30°) = -sin(30°)$.
Так как $sin(30°) = \frac{1}{2}$, то $sin(210°) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Для вычисления $cos(-315°)$ используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(-315°) = cos(315°)$
Угол $315°$ находится в IV четверти. Представим $315°$ как $360° - 45°$.
$cos(315°) = cos(360° - 45°)$
Согласно формуле приведения $cos(360° - \alpha) = cos(\alpha)$.
Следовательно, $cos(360° - 45°) = cos(45°)$.
Так как $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $cos(-315°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Для вычисления $sin(-\frac{7\pi}{3})$ используем свойство нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(-\frac{7\pi}{3}) = -sin(\frac{7\pi}{3})$
Период функции синус равен $2\pi$. Выделим целое число периодов из угла $\frac{7\pi}{3}$.
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$
$-sin(\frac{7\pi}{3}) = -sin(2\pi + \frac{\pi}{3})$
Используя периодичность синуса $sin(2\pi + \alpha) = sin(\alpha)$, получаем:
$-sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$
Так как $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Для вычисления $tg(\frac{7\pi}{4})$ используем периодичность тангенса. Период тангенса равен $\pi$.
Представим угол $\frac{7\pi}{4}$ как $\frac{8\pi - \pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$.
$tg(\frac{7\pi}{4}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{4})$
Так как $2\pi$ является периодом для тангенса ($2\pi = 2 \cdot \pi$), то $tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = tg(-\frac{\pi}{4})$.
Тангенс - нечетная функция, поэтому $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
$tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4})$
Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $tg(\frac{7\pi}{4}) = -1$.
Ответ: $-1$

5) Для вычисления $cos(855°)$ используем периодичность косинуса. Период косинуса равен $360°$.
Выделим целое число периодов в угле $855°$.
$855° = 2 \cdot 360° + 135° = 720° + 135°$
$cos(855°) = cos(2 \cdot 360° + 135°)$
Используя периодичность косинуса $cos(k \cdot 360° + \alpha) = cos(\alpha)$, получаем:
$cos(135°)$
Угол $135°$ находится во II четверти. Представим его как $180° - 45°$.
$cos(135°) = cos(180° - 45°)$
По формуле приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$.
$cos(180° - 45°) = -cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

6) Для вычисления $sin(\frac{37\pi}{6})$ используем периодичность синуса. Период синуса равен $2\pi$.
Выделим целое число периодов из угла $\frac{37\pi}{6}$.
$\frac{37\pi}{6} = \frac{36\pi + \pi}{6} = 6\pi + \frac{\pi}{6} = 3 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{6}$
$sin(\frac{37\pi}{6}) = sin(3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{6})$
Используя периодичность синуса $sin(k \cdot 2\pi + \alpha) = sin(\alpha)$, получаем:
$sin(\frac{\pi}{6})$
Так как $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то $sin(\frac{37\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$