Номер 196, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha$;

2) $3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha$.

Для нахождения наибольшего значения выражений вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $R \sin(\alpha + \varphi)$ или $R \cos(\alpha - \varphi)$. Наибольшее значение такого выражения всегда равно $R = \sqrt{a^2+b^2}$, поскольку наибольшее значение синуса или косинуса равно 1.

1) $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha$

Данное выражение можно представить в виде $a \cos \alpha + b \sin \alpha$, где $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.

Наибольшее значение этого выражения равно $\sqrt{a^2+b^2}$.

Вычислим это значение:

$\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Проведем преобразование для наглядности. Вынесем 2 за скобки:

$\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$2 \left( \cos(\frac{\pi}{3}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin \alpha \right)$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$, получаем:

$2 \cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$.

Максимальное значение функции $\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения составляет $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.

2) $3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha$

Данное выражение можно представить в виде $a \sin \alpha + b \cos \alpha$, где $a=3$ и $b=4$.

Наибольшее значение этого выражения равно $\sqrt{a^2+b^2}$.

Вычислим это значение:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Проведем преобразование для наглядности. Вынесем 5 за скобки:

$3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha = 5 \left( \frac{3}{5} \sin \alpha + \frac{4}{5} \cos \alpha \right)$.

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = \frac{3}{5}$ и $\sin \varphi = \frac{4}{5}$. Такое возможно, поскольку $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

Выражение примет вид:

$5 (\cos \varphi \sin \alpha + \sin \varphi \cos \alpha)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, получаем:

$5 \sin(\alpha + \varphi)$.

Максимальное значение функции $\sin(\alpha + \varphi)$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения составляет $5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5.