Номер 189, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Упростите выражение:

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); $

2) $ 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha; $

3) $ \frac{\cos(30^\circ + \alpha) - \sin(60^\circ + \alpha)}{\cos(30^\circ - \alpha) - \sin(60^\circ - \alpha)}. $

1)

Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$ можно использовать формулу разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} + \alpha$.

Найдем аргументы для синуса и косинуса в формуле:

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) - (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} - \alpha - \frac{\pi}{4} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha$.

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) + (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Подставим полученные значения в формулу разности синусов:

$2sin(-\alpha)cos(\frac{\pi}{4})$.

Так как синус — нечетная функция, $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Значение косинуса $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение:

$2 \cdot (-sin(\alpha)) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}sin(\alpha)$.

Ответ: $-\sqrt{2}sin(\alpha)$.

2)

Рассмотрим выражение $2sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha$.

Применим формулу синуса разности аргументов: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.

Раскроем $sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$.

Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha$.

Раскроем скобки, умножив каждый член на 2:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - 2 \cdot \frac{1}{2}sin(\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha = \sqrt{3}cos(\alpha) - sin(\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha$.

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(\sqrt{3}cos(\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha) + (-sin(\alpha) + sin\alpha) = 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

3)

Упростим выражение $\frac{cos(30^\circ + \alpha) - sin(60^\circ + \alpha)}{cos(30^\circ - \alpha) - sin(60^\circ - \alpha)}$.

Используем формулу приведения $sin(x) = cos(90^\circ - x)$ для преобразования синусов в косинусы.

Преобразуем числитель. Заменим $sin(60^\circ + \alpha)$:

$sin(60^\circ + \alpha) = cos(90^\circ - (60^\circ + \alpha)) = cos(90^\circ - 60^\circ - \alpha) = cos(30^\circ - \alpha)$.

Теперь числитель имеет вид: $cos(30^\circ + \alpha) - cos(30^\circ - \alpha)$.

Применим формулу разности косинусов $cos(x) - cos(y) = -2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$:

$-2sin(\frac{(30^\circ + \alpha) + (30^\circ - \alpha)}{2})sin(\frac{(30^\circ + \alpha) - (30^\circ - \alpha)}{2}) = -2sin(\frac{60^\circ}{2})sin(\frac{2\alpha}{2}) = -2sin(30^\circ)sin(\alpha)$.

Так как $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, числитель равен $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot sin(\alpha) = -sin(\alpha)$.

Преобразуем знаменатель. Заменим $sin(60^\circ - \alpha)$:

$sin(60^\circ - \alpha) = cos(90^\circ - (60^\circ - \alpha)) = cos(90^\circ - 60^\circ + \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$.

Теперь знаменатель имеет вид: $cos(30^\circ - \alpha) - cos(30^\circ + \alpha)$.

Это выражение является противоположным числителю, который мы уже преобразовали. Можно сразу сказать, что оно равно $sin(\alpha)$. Проверим, применив формулу разности косинусов:

$-2sin(\frac{(30^\circ - \alpha) + (30^\circ + \alpha)}{2})sin(\frac{(30^\circ - \alpha) - (30^\circ + \alpha)}{2}) = -2sin(\frac{60^\circ}{2})sin(\frac{-2\alpha}{2}) = -2sin(30^\circ)sin(-\alpha)$.

Так как $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$, знаменатель равен $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-sin(\alpha)) = sin(\alpha)$.

Разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-sin(\alpha)}{sin(\alpha)} = -1$.

Ответ: $-1$.