Номер 184, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $5\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha$;

2) $4\sin^2 \alpha - 3\text{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$;

3) $5\sin^2 \alpha + 2\cos \alpha$;

4) $8\sin \alpha - \cos^2 \alpha$.

1) $5\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим $\cos^2\alpha$ через $\sin^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:
$5\sin^2\alpha - 2(1 - \sin^2\alpha) = 5\sin^2\alpha - 2 + 2\sin^2\alpha = 7\sin^2\alpha - 2$.

Область значений функции $y=\sin^2\alpha$ — это отрезок $[0, 1]$. Следовательно, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения выражения $7\sin^2\alpha - 2$, нужно подставить в него крайние значения для $\sin^2\alpha$.

Наименьшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 0$:
$7 \cdot 0 - 2 = -2$.

Наибольшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 1$:
$7 \cdot 1 - 2 = 5$.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 5.

2) $4\sin^2\alpha - 3\text{ctg}^2\alpha \sin^2\alpha$

Упростим выражение, используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Это преобразование корректно при условии, что $\sin\alpha \neq 0$.

$4\sin^2\alpha - 3 \cdot \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 \cdot \sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha - 3\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha$.

Далее воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:
$4\sin^2\alpha - 3(1 - \sin^2\alpha) = 4\sin^2\alpha - 3 + 3\sin^2\alpha = 7\sin^2\alpha - 3$.

Хотя исходное выражение не определено при $\sin\alpha = 0$, для нахождения диапазона значений обычно рассматривают упрощенное выражение $7\sin^2\alpha - 3$ для всех допустимых значений $\alpha$, то есть для $\sin^2\alpha \in [0, 1]$.

Наименьшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 0$:
$7 \cdot 0 - 3 = -3$.

Наибольшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 1$:
$7 \cdot 1 - 3 = 4$.

Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 4.

3) $5\sin^2\alpha + 2\cos\alpha$

Приведем выражение к зависимости от одной тригонометрической функции. Используем тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:
$5(1 - \cos^2\alpha) + 2\cos\alpha = 5 - 5\cos^2\alpha + 2\cos\alpha$.

Пусть $t = \cos\alpha$. Так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то $t \in [-1, 1]$.
Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = -5t^2 + 2t + 5$ на отрезке $[-1, 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз. Наибольшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-5)} = \frac{1}{5}$.

Точка $t_v = 1/5$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому наибольшее значение равно значению функции в этой точке:
$f(\frac{1}{5}) = -5(\frac{1}{5})^2 + 2(\frac{1}{5}) + 5 = -5 \cdot \frac{1}{25} + \frac{2}{5} + 5 = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + 5 = \frac{1}{5} + 5 = 5,2$.

Наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения $f(-1)$ и $f(1)$:
$f(-1) = -5(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -5 - 2 + 5 = -2$.
$f(1) = -5(1)^2 + 2(1) + 5 = -5 + 2 + 5 = 2$.

Наименьшее из этих значений равно -2.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 5,2.

4) $8\sin\alpha - \cos^2\alpha$

Используем тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы выразить все через $\sin\alpha$:
$8\sin\alpha - (1 - \sin^2\alpha) = 8\sin\alpha - 1 + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha + 8\sin\alpha - 1$.

Пусть $t = \sin\alpha$. Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то $t \in [-1, 1]$.
Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $g(t) = t^2 + 8t - 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.

Вершина $t_v = -4$ не лежит в отрезке $[-1, 1]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее отрезка, функция $g(t)$ возрастает на всем отрезке $[-1, 1]$.

Следовательно, наименьшее значение достигается в левой крайней точке $t = -1$, а наибольшее — в правой крайней точке $t = 1$.

Наименьшее значение: $g(-1) = (-1)^2 + 8(-1) - 1 = 1 - 8 - 1 = -8$.
Наибольшее значение: $g(1) = (1)^2 + 8(1) - 1 = 1 + 8 - 1 = 8$.

Ответ: наименьшее значение: -8, наибольшее значение: 8.