Номер 178, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = 2\operatorname{ctg} x - 1;$

3) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{3}.$

4) $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2.$

1) $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4})$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \text{ctg}x$ путем преобразований.

1. Базовая функция: $y = \text{ctg}x$. Это убывающая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты находятся в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$, а нули (точки пересечения с осью Ox) — в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(x+c)$, где $f(x) = \text{ctg}x$ и $c = \frac{\pi}{4}$. Это означает, что график базовой функции $y = \text{ctg}x$ должен быть сдвинут (параллельно перенесен) вдоль оси Ox влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

3. Свойства и построение:

• Период: Период функции не изменяется при горизонтальном сдвиге, поэтому он остается равным $\pi$.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты также сдвигаются влево на $\frac{\pi}{4}$. Их новые уравнения: $x + \frac{\pi}{4} = k\pi$, то есть $x = k\pi - \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты будут при $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$, $x = \frac{7\pi}{4}$ и т.д.
• Нули функции: Нули также сдвигаются влево на $\frac{\pi}{4}$. Их новые координаты: $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Для $y=\text{ctg}x$ характерны точки $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(\frac{3\pi}{4}, -1)$. Сдвигаем их влево на $\frac{\pi}{4}$:
  • $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$, $y = \text{ctg}(0 + \frac{\pi}{4}) = 1$. Точка $(0, 1)$.
  • $x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график функции $y = \text{ctg}x$.
2. Сдвинуть весь график, включая асимптоты, влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4})$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{ctg}x$ влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$.

2) $y = 2\text{ctg}x - 1$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \text{ctg}x$ в два шага.

1. Базовая функция: $y = \text{ctg}x$.

2. Преобразования:

• Шаг 1: Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза. Получаем промежуточную функцию $y_1 = 2\text{ctg}x$. Каждая ордината графика $y=\text{ctg}x$ умножается на 2.
• Шаг 2: Сдвиг вниз вдоль оси Oy на 1 единицу. Получаем итоговую функцию $y = 2\text{ctg}x - 1$.

3. Свойства и построение:

• Период: Вертикальное растяжение и сдвиг не влияют на период, поэтому он остается равным $\pi$.
• Асимптоты: Асимптоты зависят только от аргумента котангенса, который равен $x$. Поэтому вертикальные асимптоты остаются такими же, как у $y = \text{ctg}x$: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$:
  $2\text{ctg}x - 1 = 0 \Rightarrow \text{ctg}x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \text{arcctg}(\frac{1}{2}) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Преобразуем характерные точки графика $y = \text{ctg}x$, например, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$:
  • $x = \frac{\pi}{4}$: $y = 2\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$.
  • $x = \frac{\pi}{2}$: $y = 2\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
  • $x = \frac{3\pi}{4}$: $y = 2\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) - 1 = 2 \cdot (-1) - 1 = -3$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, -3)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график функции $y = \text{ctg}x$.
2. Растянуть его от оси Ox в 2 раза (умножить все значения y на 2).
3. Сдвинуть полученный график вниз по оси Oy на 1.

Ответ: График функции $y = 2\text{ctg}x - 1$ получается из графика $y = \text{ctg}x$ путем растяжения вдоль оси ординат в 2 раза и последующего сдвига вниз на 1 единицу.

3) $y = \text{tg}\frac{x}{3}$

График этой функции получается из графика $y = \text{tg}x$ путем горизонтального растяжения.

1. Базовая функция: $y = \text{tg}x$. Это возрастающая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, а нули — в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(ax)$, где $f(x) = \text{tg}x$ и $a = \frac{1}{3}$. Это означает, что график базовой функции $y = \text{tg}x$ растягивается вдоль оси Ox в $\frac{1}{a} = 3$ раза.

3. Свойства и построение:

• Период: Новый период $T' = \frac{T}{|a|} = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.
• Асимптоты: Положение асимптот изменится. Найдем его из условия: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Отсюда $x = \frac{3\pi}{2} + 3k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: Найдем новые нули из условия: $\frac{x}{3} = k\pi$. Отсюда $x = 3k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Для $y = \text{tg}x$ характерны точки $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(-\frac{\pi}{4}, -1)$. Найдем соответствующие точки для новой функции:
  • Чтобы получить $y=1$, нужно чтобы $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4}$, то есть $x = \frac{3\pi}{4}$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 1)$.
  • Чтобы получить $y=-1$, нужно чтобы $\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4}$, то есть $x = -\frac{3\pi}{4}$. Точка $(-\frac{3\pi}{4}, -1)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график функции $y = \text{tg}x$.
2. Растянуть его от оси Oy в 3 раза (умножить все абсциссы на 3).

Ответ: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{3}$ получается из графика $y = \text{tg}x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс в 3 раза.

4) $y = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2$

График этой функции получается из графика $y = \text{tg}x$ в результате нескольких последовательных преобразований.

1. Базовая функция: $y = \text{tg}x$.

2. Последовательность преобразований:

• Шаг 1: Сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$. Получаем $y_1 = \text{tg}(x + \frac{\pi}{3})$.
• Шаг 2: Растяжение вдоль оси Oy в 3 раза. Получаем $y_2 = 3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3})$.
• Шаг 3: Симметричное отражение относительно оси Ox. Получаем $y_3 = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3})$.
• Шаг 4: Сдвиг вверх на 2 единицы. Получаем итоговую функцию $y = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2$.

3. Свойства и построение:

• Период: Ни одно из преобразований не меняет период, поэтому он остается равным $\pi$.
• Асимптоты: Их положение зависит от горизонтального сдвига. Найдем его из условия, что аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$:
  $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки перегиба: У графика $y=\text{tg}x$ точки перегиба находятся в его нулях, например, в (0,0). Проследим за этой точкой:
  1. Сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$: $(-\frac{\pi}{3}, 0)$.
  2. Растяжение и отражение не меняют эту точку, т.к. её ордината равна 0.
  3. Сдвиг вверх на 2: $(-\frac{\pi}{3}, 2)$.
  Таким образом, точки перегиба графика находятся в точках $(-\frac{\pi}{3} + k\pi, 2)$.
• Нули функции: Решим уравнение $y=0$:
  $-3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2 = 0 \Rightarrow \text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{2}{3} \Rightarrow x + \frac{\pi}{3} = \text{arctg}(\frac{2}{3}) + k\pi \Rightarrow x = \text{arctg}(\frac{2}{3}) - \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Возьмем точки, где аргумент тангенса равен $\pm\frac{\pi}{4}$:
  • $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12}$. $y = -3\text{tg}(\frac{\pi}{4}) + 2 = -3 \cdot 1 + 2 = -1$. Точка $(-\frac{\pi}{12}, -1)$.
  • $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x = -\frac{7\pi}{12}$. $y = -3\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) + 2 = -3 \cdot (-1) + 2 = 5$. Точка $(-\frac{7\pi}{12}, 5)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график $y=\text{tg}x$.
2. Сдвинуть его влево на $\frac{\pi}{3}$.
3. Растянуть от оси Ox в 3 раза.
4. Отразить симметрично относительно оси Ox.
5. Сдвинуть вверх на 2.

Ответ: График функции $y = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ получается из графика $y = \text{tg}x$ последовательным применением сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$, растяжения вдоль оси Oy в 3 раза, отражения относительно оси Ox и сдвига вверх на 2 единицы.