Номер 175, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Сравните:

1) $tg \frac{29\pi}{10}$ и $tg \frac{26\pi}{9}$;

2) $tg (-205^\circ)$ и $tg (-203^\circ)$;

3) $tg 7$ и $tg 7,5$;

4) $ctg \left(-\frac{25\pi}{12}\right)$ и $ctg \left(-\frac{15\pi}{7}\right)$;

5) $ctg 258^\circ$ и $ctg 256^\circ$;

6) $ctg (-5)$ и $ctg (-5,5)$.

1) Сравним $tg\frac{29\pi}{10}$ и $tg\frac{26\pi}{9}$.

Для начала упростим аргументы, используя периодичность функции тангенс (период $T=\pi$).

$tg\frac{29\pi}{10} = tg(2.9\pi) = tg(2.9\pi - 2\pi) = tg(0.9\pi) = tg\frac{9\pi}{10}$.

$tg\frac{26\pi}{9} = tg(2\frac{8}{9}\pi) = tg(2\pi + \frac{8\pi}{9}) = tg\frac{8\pi}{9}$.

Теперь нужно сравнить $tg\frac{9\pi}{10}$ и $tg\frac{8\pi}{9}$. Оба угла принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, который является частью интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, где функция $y = tg(x)$ возрастает.

Сравним значения аргументов: $\frac{9\pi}{10}$ и $\frac{8\pi}{9}$. Для этого сравним дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{8}{9}$. Приведем их к общему знаменателю: $\frac{9}{10} = \frac{81}{90}$ и $\frac{8}{9} = \frac{80}{90}$.

Так как $\frac{81}{90} > \frac{80}{90}$, то $\frac{9\pi}{10} > \frac{8\pi}{9}$.

Поскольку на данном интервале функция $y = tg(x)$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg\frac{9\pi}{10} > tg\frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $tg\frac{29\pi}{10} > tg\frac{26\pi}{9}$.

2) Сравним $tg(-205^{\circ})$ и $tg(-203^{\circ})$.

Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на каждом интервале вида $(-90^{\circ} + 180^{\circ}k, 90^{\circ} + 180^{\circ}k)$, где $k$ — целое число.

При $k = -1$ получаем интервал $(-270^{\circ}, -90^{\circ})$. Оба угла, $-205^{\circ}$ и $-203^{\circ}$, принадлежат этому интервалу.

Сравним аргументы: $-205^{\circ} < -203^{\circ}$.

Так как на интервале $(-270^{\circ}, -90^{\circ})$ функция $y = tg(x)$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, $tg(-205^{\circ}) < tg(-203^{\circ})$.

Ответ: $tg(-205^{\circ}) < tg(-203^{\circ})$.

3) Сравним $tg(7)$ и $tg(7.5)$.

Аргументы даны в радианах. Определим интервал монотонности для функции $y = tg(x)$. Функция возрастает на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Возьмем $k=2$, получим интервал $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2})$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, найдем границы интервала: $(\frac{3 \cdot 3.14}{2}, \frac{5 \cdot 3.14}{2}) \approx (4.71, 7.85)$.

Оба значения, 7 и 7.5, находятся внутри этого интервала.

Сравним аргументы: $7 < 7.5$.

Поскольку на данном интервале функция $y = tg(x)$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, $tg(7) < tg(7.5)$.

Ответ: $tg(7) < tg(7.5)$.

4) Сравним $ctg(-\frac{25\pi}{12})$ и $ctg(-\frac{15\pi}{7})$.

Функция $y = ctg(x)$ является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Поэтому $ctg(-\frac{25\pi}{12}) = -ctg(\frac{25\pi}{12})$ и $ctg(-\frac{15\pi}{7}) = -ctg(\frac{15\pi}{7})$.

Сравнение исходных величин эквивалентно сравнению $ctg(\frac{15\pi}{7})$ и $ctg(\frac{25\pi}{12})$ с последующей сменой знака неравенства.

Упростим аргументы, используя периодичность котангенса (период $T=\pi$):

$ctg(\frac{25\pi}{12}) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{12}) = ctg(\frac{\pi}{12})$.

$ctg(\frac{15\pi}{7}) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{7}) = ctg(\frac{\pi}{7})$.

Теперь сравним $ctg(\frac{\pi}{12})$ и $ctg(\frac{\pi}{7})$. Оба угла принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = ctg(x)$ убывает.

Сравним аргументы: $\frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{7}$.

Так как функция $y = ctg(x)$ убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции: $ctg(\frac{\pi}{12}) > ctg(\frac{\pi}{7})$.

Таким образом, $ctg(\frac{25\pi}{12}) > ctg(\frac{15\pi}{7})$. Умножая на -1, меняем знак неравенства: $-ctg(\frac{25\pi}{12}) < -ctg(\frac{15\pi}{7})$.

Ответ: $ctg(-\frac{25\pi}{12}) < ctg(-\frac{15\pi}{7})$.

5) Сравним $ctg(258^{\circ})$ и $ctg(256^{\circ})$.

Функция $y = ctg(x)$ является убывающей на каждом интервале вида $(180^{\circ}k, 180^{\circ} + 180^{\circ}k)$, где $k$ — целое число.

При $k=1$ получаем интервал $(180^{\circ}, 360^{\circ})$. Оба угла, $256^{\circ}$ и $258^{\circ}$, принадлежат этому интервалу.

Сравним аргументы: $258^{\circ} > 256^{\circ}$.

Поскольку на данном интервале функция $y = ctg(x)$ убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, $ctg(258^{\circ}) < ctg(256^{\circ})$.

Ответ: $ctg(258^{\circ}) < ctg(256^{\circ})$.

6) Сравним $ctg(-5)$ и $ctg(-5.5)$.

Аргументы даны в радианах. Так как $y = ctg(x)$ — нечетная функция, то $ctg(-5) = -ctg(5)$ и $ctg(-5.5) = -ctg(5.5)$.

Сравним $ctg(5)$ и $ctg(5.5)$, а затем учтем знак минус. Функция $y = ctg(x)$ убывает на интервалах вида $(\pi k, \pi + \pi k)$.

При $k=1$ получаем интервал $(\pi, 2\pi)$. Используя $\pi \approx 3.14$, имеем интервал $(3.14, 6.28)$.

Оба значения, 5 и 5.5, находятся внутри этого интервала убывания.

Сравним аргументы: $5 < 5.5$.

Так как функция $y = ctg(x)$ убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции: $ctg(5) > ctg(5.5)$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-ctg(5) < -ctg(5.5)$.

Следовательно, $ctg(-5) < ctg(-5.5)$.

Ответ: $ctg(-5) < ctg(-5.5)$.