Номер 176, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Сравните:

1) $\text{tg } 42^\circ$ и $\text{ctg } 42^\circ$;

2) $\text{tg } 61^\circ$ и $\text{ctg } 32^\circ$;

3) $\text{tg } 51^\circ$ и $\text{cos } 6^\circ$.

1) Для сравнения $tg(42\degree)$ и $ctg(42\degree)$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций в первой четверти ($0\degree < \alpha < 90\degree$).

Функция $y = tg(x)$ возрастает на интервале $(0\degree; 90\degree)$. Известно, что $tg(45\degree) = 1$.

Поскольку $42\degree < 45\degree$, то и $tg(42\degree) < tg(45\degree)$, следовательно, $tg(42\degree) < 1$.

Котангенс связан с тангенсом формулой $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}$.

Так как $tg(42\degree)$ — положительное число, меньшее 1, то обратная ему величина $ctg(42\degree) = \frac{1}{tg(42\degree)}$ будет больше 1.

Таким образом, $tg(42\degree) < 1$, а $ctg(42\degree) > 1$. Из этого следует, что $tg(42\degree) < ctg(42\degree)$.

Ответ: $tg(42\degree) < ctg(42\degree)$.

2) Для сравнения $tg(61\degree)$ и $ctg(32\degree)$ приведем обе функции к одной, например, к тангенсу. Используем формулу приведения: $ctg(\alpha) = tg(90\degree - \alpha)$.

Применим эту формулу к $ctg(32\degree)$:

$ctg(32\degree) = tg(90\degree - 32\degree) = tg(58\degree)$.

Теперь задача сводится к сравнению $tg(61\degree)$ и $tg(58\degree)$.

Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на интервале $(0\degree; 90\degree)$. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $61\degree > 58\degree$, то $tg(61\degree) > tg(58\degree)$.

Заменяя $tg(58\degree)$ обратно на $ctg(32\degree)$, получаем $tg(61\degree) > ctg(32\degree)$.

Ответ: $tg(61\degree) > ctg(32\degree)$.

3) Для сравнения $tg(51\degree)$ и $cos(6\degree)$ сравним каждое из этих значений с единицей.

Рассмотрим $tg(51\degree)$. Функция $y = tg(x)$ возрастает в первой четверти. Мы знаем, что $tg(45\degree) = 1$.

Так как $51\degree > 45\degree$, то $tg(51\degree) > tg(45\degree)$, что означает $tg(51\degree) > 1$.

Рассмотрим $cos(6\degree)$. Максимальное значение косинуса равно 1 и достигается при угле $0\degree$. Для любого острого угла $\alpha$ ($0\degree < \alpha < 90\degree$) значение $cos(\alpha) < 1$.

Следовательно, $cos(6\degree) < 1$.

Итак, мы получили, что $tg(51\degree) > 1$, а $cos(6\degree) < 1$. Отсюда следует, что $tg(51\degree) > cos(6\degree)$.

Ответ: $tg(51\degree) > cos(6\degree)$.