Номер 173, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \operatorname{tg} x$; 2) $y = \operatorname{ctg} x$:

1) A $(-\frac{17\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3});$

2) B $(-\frac{13\pi}{4}; -1);$

3) C $(\frac{16\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3});$

4) D $(-\frac{5\pi}{3}, \sqrt{3});$

5) E $(-5\pi; 0)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить значение $x_0$ в функцию и проверить, равно ли полученное значение $f(x_0)$ значению $y_0$.

1) y = tg x

Проверим последовательно каждую из указанных точек:

1) A $(-\frac{17\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции $y = \tg x$ при $x = -\frac{17\pi}{6}$. Используя периодичность тангенса (период $T = \pi$):
$y = \tg(-\frac{17\pi}{6}) = \tg(-\frac{17\pi}{6} + 3\pi) = \tg(-\frac{17\pi}{6} + \frac{18\pi}{6}) = \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ совпадает с y-координатой точки A. Следовательно, точка A принадлежит графику функции $y = \tg x$.

2) B $(\frac{13\pi}{4}; -1)$
Вычислим значение функции при $x = \frac{13\pi}{4}$:
$y = \tg(\frac{13\pi}{4}) = \tg(\frac{12\pi+\pi}{4}) = \tg(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Полученное значение $1$ не равно y-координате точки B (которая равна $-1$). Следовательно, точка B не принадлежит графику.

3) C $(\frac{16\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции при $x = \frac{16\pi}{3}$:
$y = \tg(\frac{16\pi}{3}) = \tg(\frac{15\pi+\pi}{3}) = \tg(5\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Полученное значение $\sqrt{3}$ не равно y-координате точки C. Следовательно, точка C не принадлежит графику.

4) D $(-\frac{5\pi}{3}; \sqrt{3})$
Вычислим значение функции при $x = -\frac{5\pi}{3}$:
$y = \tg(-\frac{5\pi}{3}) = \tg(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Полученное значение $\sqrt{3}$ совпадает с y-координатой точки D. Следовательно, точка D принадлежит графику.

5) E $(-5\pi; 0)$
Вычислим значение функции при $x = -5\pi$:
$y = \tg(-5\pi) = \tg(-5\pi + 5\pi) = \tg(0) = 0$.
Полученное значение $0$ совпадает с y-координатой точки E. Следовательно, точка E принадлежит графику.

Ответ: Графику функции $y = \tg x$ принадлежат точки A, D, E.

2) y = ctg x

Проверим последовательно каждую из указанных точек:

1) A $(-\frac{17\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции $y = \ctg x$ при $x = -\frac{17\pi}{6}$. Используя периодичность котангенса (период $T = \pi$):
$y = \ctg(-\frac{17\pi}{6}) = \ctg(-\frac{17\pi}{6} + 3\pi) = \ctg(-\frac{17\pi}{6} + \frac{18\pi}{6}) = \ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
Полученное значение $\sqrt{3}$ не равно y-координате точки A. Следовательно, точка A не принадлежит графику.

2) B $(\frac{13\pi}{4}; -1)$
Вычислим значение функции при $x = \frac{13\pi}{4}$:
$y = \ctg(\frac{13\pi}{4}) = \ctg(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Полученное значение $1$ не равно y-координате точки B. Следовательно, точка B не принадлежит графику.

3) C $(\frac{16\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции при $x = \frac{16\pi}{3}$:
$y = \ctg(\frac{16\pi}{3}) = \ctg(5\pi + \frac{\pi}{3}) = \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ совпадает с y-координатой точки C. Следовательно, точка C принадлежит графику функции $y = \ctg x$.

4) D $(-\frac{5\pi}{3}; \sqrt{3})$
Вычислим значение функции при $x = -\frac{5\pi}{3}$:
$y = \ctg(-\frac{5\pi}{3}) = \ctg(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ не равно y-координате точки D. Следовательно, точка D не принадлежит графику.

5) E $(-5\pi; 0)$
Функция $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена в точках, где $\sin x = 0$, то есть при $x = k\pi$, где $k$ - целое число. Так как $x = -5\pi$ является точкой такого вида, функция в ней не определена. Следовательно, точка E не может принадлежать графику.

Ответ: Графику функции $y = \ctg x$ принадлежит точка C.