Номер 167, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

1) нули функции y = sin x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей функции $y = \sin x$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$ необходимо решить уравнение $\sin x = 0$.

Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Теперь найдем все целые значения $n$, для которых корни уравнения попадают в заданный промежуток: $$-\frac{\pi}{6} \le \pi n \le \frac{11\pi}{6}$$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{11}{6}$$ Что примерно равно $-0,17 \le n \le 1,83$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это $n = 0$ и $n = 1$.

При $n = 0$, получаем корень $x_1 = \pi \cdot 0 = 0$.

При $n = 1$, получаем корень $x_2 = \pi \cdot 1 = \pi$.

Оба значения $0$ и $\pi$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$.

Ответ: $0; \pi$.

2) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наибольшее и наименьшее значения.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $1$, а наименьшее — $-1$.

Наибольшее значение:
Наибольшее значение, равное $1$, функция $y = \sin x$ принимает при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем значения $k$, при которых $x$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$: $$-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{11\pi}{6}$$ Разделим неравенство на $\pi$: $$-\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} + 2k \le \frac{11}{6}$$ Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей: $$-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} \le 2k \le \frac{11}{6} - \frac{3}{6}$$ $$-\frac{4}{6} \le 2k \le \frac{8}{6}$$ $$-\frac{2}{3} \le 2k \le \frac{4}{3}$$ Разделим на 2: $$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3}$$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в заданный промежуток.

Наименьшее значение:
Наименьшее значение, равное $-1$, функция $y = \sin x$ принимает при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ и найдем значения $k$, при которых $x$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$: $$-\frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{11\pi}{6}$$ Разделим неравенство на $\pi$: $$-\frac{1}{6} \le \frac{3}{2} + 2k \le \frac{11}{6}$$ Вычтем $\frac{3}{2}$ из всех частей: $$-\frac{1}{6} - \frac{9}{6} \le 2k \le \frac{11}{6} - \frac{9}{6}$$ $$-\frac{10}{6} \le 2k \le \frac{2}{6}$$ $$-\frac{5}{3} \le 2k \le \frac{1}{3}$$ Разделим на 2: $$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{1}{6}$$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{2}$. Это значение входит в заданный промежуток.

Ответ: наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{\pi}{2}$, а наименьшее — при $x = \frac{3\pi}{2}$.