Номер 161, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 405^\circ $;

2) $ \cos 390^\circ $;

3) $ \tan 420^\circ $;

4) $ \cot (-855^\circ) $;

5) $ \sin \frac{25\pi}{4} $;

6) $ \cot \left( -\frac{35\pi}{6} \right) $.

1) sin 405°

Для нахождения значения тригонометрических функций углов, превышающих $360°$, используется их периодичность. Период функции синус равен $360°$. Это означает, что $\sin(\alpha + 360° \cdot n) = \sin(\alpha)$ для любого целого $n$.
Представим угол $405°$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360°$:
$405° = 360° + 45°$
Таким образом, мы можем упростить выражение:
$\sin 405° = \sin(360° + 45°) = \sin 45°$
Значение $\sin 45°$ является табличным:
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) cos 390°

Период функции косинус также равен $360°$. Используем свойство периодичности: $\cos(\alpha + 360° \cdot n) = \cos(\alpha)$.
Представим угол $390°$ в виде суммы:
$390° = 360° + 30°$
Упростим выражение:
$\cos 390° = \cos(360° + 30°) = \cos 30°$
Значение $\cos 30°$ является табличным:
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) tg 420°

Период функции тангенс равен $180°$. Используем свойство периодичности: $\tg(\alpha + 180° \cdot n) = \tg(\alpha)$.
Представим угол $420°$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $180°$:
$420° = 2 \cdot 180° + 60° = 360° + 60°$
Упростим выражение:
$\tg 420° = \tg(2 \cdot 180° + 60°) = \tg 60°$
Значение $\tg 60°$ является табличным:
$\tg 60° = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

4) ctg (-855°)

Во-первых, воспользуемся свойством нечетности функции котангенс: $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\ctg(-855°) = -\ctg(855°)$
Период котангенса равен $180°$. Представим угол $855°$ в виде суммы:
$855° = 4 \cdot 180° + 135° = 720° + 135°$
Следовательно:
$\ctg(855°) = \ctg(4 \cdot 180° + 135°) = \ctg(135°)$
Чтобы найти значение $\ctg(135°)$, можно использовать формулу приведения: $\ctg(180° - \alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\ctg(135°) = \ctg(180° - 45°) = -\ctg(45°) = -1$
Подставим это значение в исходное выражение:
$\ctg(-855°) = -\ctg(855°) = -(-1) = 1$
Альтернативный способ: Можно сразу прибавить к аргументу несколько периодов, чтобы получить положительный угол:
$5 \cdot 180° = 900°$
$\ctg(-855°) = \ctg(-855° + 5 \cdot 180°) = \ctg(-855° + 900°) = \ctg(45°) = 1$

Ответ: $1$

5) sin $\frac{25\pi}{4}$

Период синуса в радианах равен $2\pi$. Выделим целое число периодов из аргумента.
Представим дробь $\frac{25\pi}{4}$ в виде смешанного числа:
$\frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4}$
Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, это три полных периода.
$\sin\left(\frac{25\pi}{4}\right) = \sin\left(6\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Табличное значение $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ равно:
$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

6) ctg ($-\frac{35\pi}{6}$)

Период котангенса в радианах равен $\pi$. Чтобы упростить выражение, прибавим к аргументу целое число периодов, чтобы получить удобный угол. Например, прибавим $6\pi$, так как $6\pi = \frac{36\pi}{6}$ и это близко к $\frac{35\pi}{6}$.
$\ctg\left(-\frac{35\pi}{6}\right) = \ctg\left(-\frac{35\pi}{6} + 6\pi\right) = \ctg\left(-\frac{35\pi}{6} + \frac{36\pi}{6}\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Табличное значение $\ctg\left(\frac{\pi}{6}\right)$ равно:
$\ctg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$