Номер 166, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Какие из указанных точек принадлежат графику функции:

1) $y = \sin x$; 2) $y = \cos x$:

1) $A(-5\pi; 0)$;

2) $B(-\frac{17\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$;

3) $C(\frac{25\pi}{6}; \frac{1}{2})$;

4) $D(-\frac{15\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$;

5) $E(\frac{11\pi}{2}; 0)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки $(x_0, y_0)$ в уравнение функции $y = f(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $y_0 = f(x_0)$.

Проверим принадлежность каждой из заданных точек графику функции $y = \sin x$.

1) Точка A(–5$\pi$; 0). Подставляем $x = -5\pi$ в функцию: $y = \sin(-5\pi)$. Так как $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого числа $k$, то $\sin(-5\pi) = 0$. Координата $y$ точки равна 0. Равенство $0=0$ верно, значит, точка A принадлежит графику функции $y=\sin x$.

2) Точка B($-\frac{17\pi}{6}$; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{17\pi}{6}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{17\pi}{6})$. Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и его периодичность, получаем: $\sin(-\frac{17\pi}{6}) = -\sin(\frac{17\pi}{6}) = -\sin(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6})$. По формуле приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$, имеем $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Таким образом, $\sin(-\frac{17\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$, точка B не принадлежит графику функции $y=\sin x$.

3) Точка C($\frac{25\pi}{6}$; $\frac{1}{2}$). Подставляем $x = \frac{25\pi}{6}$ в функцию: $y = \sin(\frac{25\pi}{6})$. Используя периодичность синуса: $\sin(\frac{25\pi}{6}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Координата $y$ точки равна $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, точка C принадлежит графику функции $y=\sin x$.

4) Точка D($-\frac{15\pi}{4}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{15\pi}{4}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{15\pi}{4})$. Используя свойство нечетности синуса и его периодичность: $\sin(-\frac{15\pi}{4}) = -\sin(\frac{15\pi}{4}) = -\sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координата $y$ точки равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, точка D принадлежит графику функции $y=\sin x$.

5) Точка E($\frac{11\pi}{2}$; 0). Подставляем $x = \frac{11\pi}{2}$ в функцию: $y = \sin(\frac{11\pi}{2})$. Используя периодичность синуса: $\sin(\frac{11\pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Координата $y$ точки равна 0. Так как $-1 \neq 0$, точка E не принадлежит графику функции $y=\sin x$.

Ответ: A, C, D.

Проверим принадлежность каждой из заданных точек графику функции $y = \cos x$.

1) Точка A(–5$\pi$; 0). Подставляем $x = -5\pi$ в функцию: $y = \cos(-5\pi)$. Используя свойство четности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и его периодичность: $\cos(-5\pi) = \cos(5\pi) = \cos(4\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$. Так как $-1 \neq 0$, точка A не принадлежит графику функции $y=\cos x$.

2) Точка B($-\frac{17\pi}{6}$; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{17\pi}{6}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{17\pi}{6})$. Используя свойство четности косинуса и его периодичность: $\cos(-\frac{17\pi}{6}) = \cos(\frac{17\pi}{6}) = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$. По формуле приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$, имеем $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Координата $y$ точки равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, точка B принадлежит графику функции $y=\cos x$.

3) Точка C($\frac{25\pi}{6}$; $\frac{1}{2}$). Подставляем $x = \frac{25\pi}{6}$ в функцию: $y = \cos(\frac{25\pi}{6})$. Используя периодичность косинуса: $\cos(\frac{25\pi}{6}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, точка C не принадлежит графику функции $y=\cos x$.

4) Точка D($-\frac{15\pi}{4}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{15\pi}{4}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{15\pi}{4})$. Используя свойство четности косинуса и его периодичность: $\cos(-\frac{15\pi}{4}) = \cos(\frac{15\pi}{4}) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координата $y$ точки равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, точка D принадлежит графику функции $y=\cos x$.

5) Точка E($\frac{11\pi}{2}$; 0). Подставляем $x = \frac{11\pi}{2}$ в функцию: $y = \cos(\frac{11\pi}{2})$. Используя периодичность косинуса: $\cos(\frac{11\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Координата $y$ точки равна 0. Так как $0 = 0$, точка E принадлежит графику функции $y=\cos x$.

Ответ: B, D, E.