Номер 168, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Сравните:

1) sin $ \frac{17\pi}{8} $ и sin $ \frac{19\pi}{9} $;

2) sin $ (-184^{\circ}) $ и sin $ (-185^{\circ}) $;

3) sin 5,5 и sin 6;

4) cos $ \frac{13\pi}{11} $ и cos $ \frac{17\pi}{14} $;

5) cos $ 362^{\circ} $ и cos $ 363^{\circ} $;

6) cos $(-3)$ и cos $(-2)$.

1) Для сравнения значений синусов, приведем аргументы к основному промежутку $[0, 2\pi)$.
$ \sin\frac{17\pi}{8} = \sin(\frac{16\pi+\pi}{8}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8} $.
$ \sin\frac{19\pi}{9} = \sin(\frac{18\pi+\pi}{9}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9} $.
Теперь сравним $ \sin\frac{\pi}{8} $ и $ \sin\frac{\pi}{9} $. Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{9} $ находятся в первой четверти $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция $ y=\sin x $ возрастает.
Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{9} $, так как $ \frac{1}{8} > \frac{1}{9} $.
Поскольку функция синус возрастает в первой четверти, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Следовательно, $ \sin\frac{\pi}{8} > \sin\frac{\pi}{9} $, а значит, $ \sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9} $.
Ответ: $ \sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9} $.

2) Используем свойство нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
$ \sin(-184^\circ) = -\sin(184^\circ) $ и $ \sin(-185^\circ) = -\sin(185^\circ) $.
Теперь приведем углы к первой четверти, используя формулы приведения:
$ \sin(184^\circ) = \sin(180^\circ + 4^\circ) = -\sin(4^\circ) $.
$ \sin(185^\circ) = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin(5^\circ) $.
Подставляем обратно:
$ \sin(-184^\circ) = -(-\sin(4^\circ)) = \sin(4^\circ) $.
$ \sin(-185^\circ) = -(-\sin(5^\circ)) = \sin(5^\circ) $.
Теперь нужно сравнить $ \sin(4^\circ) $ и $ \sin(5^\circ) $. Оба угла находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), где функция $ y=\sin x $ возрастает.
Так как $ 4^\circ < 5^\circ $, то $ \sin(4^\circ) < \sin(5^\circ) $.
Следовательно, $ \sin(-184^\circ) < \sin(-185^\circ) $.
Ответ: $ \sin(-184^\circ) < \sin(-185^\circ) $.

3) Аргументы 5,5 и 6 даны в радианах. Определим, в какой четверти находятся эти углы.
Используем приближенные значения: $ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71 $ и $ 2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28 $.
Таким образом, $ \frac{3\pi}{2} < 5.5 < 6 < 2\pi $.
Оба угла находятся в четвертой четверти, на интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
На этом интервале функция $ y=\sin x $ возрастает (от -1 до 0).
Так как $ 5.5 < 6 $, то и значения функции будут в том же соотношении.
Следовательно, $ \sin 5.5 < \sin 6 $.
Ответ: $ \sin 5.5 < \sin 6 $.

4) Определим, в какой четверти находятся углы $ \frac{13\pi}{11} $ и $ \frac{17\pi}{14} $.
$ \frac{13\pi}{11} = \pi + \frac{2\pi}{11} $. Так как $ 0 < \frac{2\pi}{11} < \frac{\pi}{2} $, этот угол находится в третьей четверти.
$ \frac{17\pi}{14} = \pi + \frac{3\pi}{14} $. Так как $ 0 < \frac{3\pi}{14} < \frac{\pi}{2} $, этот угол также находится в третьей четверти.
На интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ функция $ y=\cos x $ убывает.
Сравним аргументы: $ \frac{13\pi}{11} $ и $ \frac{17\pi}{14} $. Для этого сравним дроби $ \frac{13}{11} $ и $ \frac{17}{14} $.
Приведем их к общему знаменателю: $ \frac{13 \cdot 14}{11 \cdot 14} = \frac{182}{154} $ и $ \frac{17 \cdot 11}{14 \cdot 11} = \frac{187}{154} $.
Так как $ 182 < 187 $, то $ \frac{13}{11} < \frac{17}{14} $, а значит $ \frac{13\pi}{11} < \frac{17\pi}{14} $.
Поскольку функция косинус убывает в третьей четверти, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $ \cos\frac{13\pi}{11} > \cos\frac{17\pi}{14} $.
Ответ: $ \cos\frac{13\pi}{11} > \cos\frac{17\pi}{14} $.

5) Воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $ 360^\circ $ ($ \cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos\alpha $).
$ \cos(362^\circ) = \cos(360^\circ + 2^\circ) = \cos(2^\circ) $.
$ \cos(363^\circ) = \cos(360^\circ + 3^\circ) = \cos(3^\circ) $.
Теперь сравним $ \cos(2^\circ) $ и $ \cos(3^\circ) $.
Оба угла, $ 2^\circ $ и $ 3^\circ $, находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
На этом интервале функция $ y=\cos x $ убывает.
Так как $ 2^\circ < 3^\circ $, то $ \cos(2^\circ) > \cos(3^\circ) $.
Следовательно, $ \cos(362^\circ) > \cos(363^\circ) $.
Ответ: $ \cos(362^\circ) > \cos(363^\circ) $.

6) Аргументы -3 и -2 даны в радианах. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $.
$ \cos(-3) = \cos(3) $.
$ \cos(-2) = \cos(2) $.
Теперь сравним $ \cos(3) $ и $ \cos(2) $.
Определим, в какой четверти находятся углы 2 и 3 радианы.
Используем приближенные значения: $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $.
Таким образом, $ \frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi $.
Оба угла находятся во второй четверти, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.
На этом интервале функция $ y=\cos x $ убывает.
Так как $ 2 < 3 $, то $ \cos(2) > \cos(3) $.
Следовательно, $ \cos(-2) > \cos(-3) $.
Ответ: $ \cos(-3) < \cos(-2) $.