Номер 174, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. На промежутке $\left[ -\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x;$

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x$.

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x$

Нули функции $y = \operatorname{tg} x$ — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Таким образом, нам нужно решить уравнение $\operatorname{tg} x = 0$.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому уравнение $\operatorname{tg} x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$.

Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо найти те значения $x$ из этой серии, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} \le \pi n \le \frac{11\pi}{6}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{11}{6}$

Приближенные значения границ: $-\frac{1}{6} \approx -0,17$ и $\frac{11}{6} \approx 1,83$.

Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, это $n=0$ и $n=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=0$, $x = \pi \cdot 0 = 0$.
• При $n=1$, $x = \pi \cdot 1 = \pi$.

Проверим, входят ли эти значения в заданный промежуток: $0 \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$ и $\pi \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Оба значения подходят.

Ответ: $0; \pi$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x$

Область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ состоит из всех действительных чисел, для которых знаменатель в выражении $\frac{\sin x}{\cos x}$ не равен нулю. То есть, $\cos x \neq 0$.

Следовательно, числа, которые не принадлежат области определения, — это корни уравнения $\cos x = 0$.

Общее решение уравнения $\cos x = 0$ имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо найти те значения $x$ из этой серии, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{11\pi}{6}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{11}{6}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{1}{6} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{11}{6} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} \le k \le \frac{11}{6} - \frac{3}{6}$

$-\frac{4}{6} \le k \le \frac{8}{6}$

$-\frac{2}{3} \le k \le \frac{4}{3}$

Приближенные значения границ: $-\frac{2}{3} \approx -0,67$ и $\frac{4}{3} \approx 1,33$.

Целые числа $k$, которые удовлетворяют этому неравенству, это $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.

Проверим, входят ли эти значения в заданный промежуток: $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$ и $\frac{3\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Оба значения подходят.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.