Номер 177, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Возможно ли равенство:

1) $cos \alpha = \sqrt{3} \text{ctg}65^{\circ}$;

2) $sin \alpha = \text{tg}55^{\circ}$?

1) cos α = √3 ctg 65°

Чтобы определить, возможно ли данное равенство, необходимо оценить значение выражения в правой части и сравнить его с областью значений функции косинус.

Область значений функции $ \cos \alpha $ — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого угла $ \alpha $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \cos \alpha \le 1 $.

Рассмотрим правую часть равенства: $ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ $.

Нам известны значения котангенса для некоторых углов, например, $ \operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Функция $ y = \operatorname{ctg} x $ является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $. Поскольку $ 65^\circ > 60^\circ $, то $ \operatorname{ctg} 65^\circ < \operatorname{ctg} 60^\circ $.

Подставим известное значение:

$ \operatorname{ctg} 65^\circ < \frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь умножим обе части неравенства на $ \sqrt{3} $ (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

$ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ < \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} $

$ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ < 1 $

Так как угол $ 65^\circ $ находится в первой четверти, его котангенс положителен: $ \operatorname{ctg} 65^\circ > 0 $. Следовательно, и произведение $ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ $ тоже положительно.

Таким образом, мы получили, что $ 0 < \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ < 1 $.

Значение правой части равенства находится в интервале $ (0; 1) $, который полностью входит в область значений косинуса $ [-1; 1] $. Следовательно, существует такой угол $ \alpha $, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) sin α = tg 55°

Аналогично первому пункту, сравним значение правой части с областью значений функции синус.

Область значений функции $ \sin \alpha $ — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого угла $ \alpha $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $.

Рассмотрим правую часть равенства: $ \operatorname{tg} 55^\circ $.

Нам известно значение тангенса для угла $ 45^\circ $: $ \operatorname{tg} 45^\circ = 1 $.

Функция $ y = \operatorname{tg} x $ является возрастающей на интервале $ (-90^\circ; 90^\circ) $. Поскольку $ 55^\circ > 45^\circ $, то $ \operatorname{tg} 55^\circ > \operatorname{tg} 45^\circ $.

Подставим известное значение:

$ \operatorname{tg} 55^\circ > 1 $

Значение правой части равенства больше 1, в то время как максимальное значение функции $ \sin \alpha $ равно 1. Таким образом, $ \sin \alpha $ не может быть равен $ \operatorname{tg} 55^\circ $, так как $ \sin \alpha \le 1 $, а $ \operatorname{tg} 55^\circ > 1 $.

Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.