Номер 182, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\gamma$, если:

1) $\cos \gamma = -\frac{3}{8}$ и $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$;

2) $\text{ctg} \gamma = -\sqrt{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \gamma < 2\pi$.

1) Дано: $ \cos{\gamma} = -\frac{3}{8} $ и $ \frac{\pi}{2} < \gamma < \pi $. Это означает, что угол $ \gamma $ находится во второй тригонометрической четверти. Во второй четверти синус положителен ($ \sin{\gamma} > 0 $), а тангенс и котангенс отрицательны ($ \tan{\gamma} < 0 $, $ \cot{\gamma} < 0 $).

Найдем синус угла $ \gamma $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2{\gamma} + \cos^2{\gamma} = 1 $.

$ \sin^2{\gamma} = 1 - \cos^2{\gamma} = 1 - (-\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64 - 9}{64} = \frac{55}{64} $

Так как угол $ \gamma $ находится во второй четверти, его синус положителен:

$ \sin{\gamma} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8} $

Теперь найдем тангенс и котангенс угла $ \gamma $.

$ \tan{\gamma} = \frac{\sin{\gamma}}{\cos{\gamma}} = \frac{\frac{\sqrt{55}}{8}}{-\frac{3}{8}} = -\frac{\sqrt{55}}{3} $

$ \cot{\gamma} = \frac{1}{\tan{\gamma}} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{55}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{55}} = -\frac{3\sqrt{55}}{55} $

Ответ: $ \sin{\gamma} = \frac{\sqrt{55}}{8} $, $ \tan{\gamma} = -\frac{\sqrt{55}}{3} $, $ \cot{\gamma} = -\frac{3\sqrt{55}}{55} $.

2) Дано: $ \cot{\gamma} = -\sqrt{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \gamma < 2\pi $. Это означает, что угол $ \gamma $ находится в четвертой тригонометрической четверти. В четвертой четверти косинус положителен ($ \cos{\gamma} > 0 $), а синус и тангенс отрицательны ($ \sin{\gamma} < 0 $, $ \tan{\gamma} < 0 $).

Найдем тангенс угла $ \gamma $ по формуле $ \tan{\gamma} = \frac{1}{\cot{\gamma}} $.

$ \tan{\gamma} = \frac{1}{-\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $

Найдем синус угла $ \gamma $, используя тождество $ 1 + \cot^2{\gamma} = \frac{1}{\sin^2{\gamma}} $.

$ \sin^2{\gamma} = \frac{1}{1 + \cot^2{\gamma}} = \frac{1}{1 + (-\sqrt{5})^2} = \frac{1}{1+5} = \frac{1}{6} $

Так как угол $ \gamma $ находится в четвертой четверти, его синус отрицателен:

$ \sin{\gamma} = -\sqrt{\frac{1}{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} $

Теперь найдем косинус угла $ \gamma $, используя формулу $ \cot{\gamma} = \frac{\cos{\gamma}}{\sin{\gamma}} $, из которой следует $ \cos{\gamma} = \cot{\gamma} \cdot \sin{\gamma} $.

$ \cos{\gamma} = (-\sqrt{5}) \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{5 \cdot 6}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{6} $

Ответ: $ \sin{\gamma} = -\frac{\sqrt{6}}{6} $, $ \cos{\gamma} = \frac{\sqrt{30}}{6} $, $ \tan{\gamma} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.