Номер 188, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Упростите выражение:

1) $ \sqrt{1-\sin^2 \frac{\alpha}{2}} + \sqrt{1-\cos^2 \frac{\alpha}{2}} $, если $ 3\pi < \alpha < 4\pi $;

2) $ \sqrt{\sin^2 \alpha(1-\text{ctg}\,\alpha) + \cos^2 \alpha(1-\text{tg}\,\alpha)} $, если $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

1)

Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Из него следуют два равенства: $1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и $1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \sin^2 \frac{\alpha}{2}$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\sqrt{1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2}} + \sqrt{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} + \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$|\cos \frac{\alpha}{2}| + |\sin \frac{\alpha}{2}|$.

Теперь необходимо определить знаки функций $\cos \frac{\alpha}{2}$ и $\sin \frac{\alpha}{2}$ с учетом заданного условия $3\pi < \alpha < 4\pi$.
Для этого разделим все части неравенства на 2:
$\frac{3\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{4\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < 2\pi$.

Данный интервал соответствует IV четверти тригонометрической окружности. В этой четверти косинус имеет положительный знак, а синус — отрицательный.
Следовательно, $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ и $\sin \frac{\alpha}{2} < 0$.

Раскроем модули с учетом знаков:
$|\cos \frac{\alpha}{2}| = \cos \frac{\alpha}{2}$
$|\sin \frac{\alpha}{2}| = -\sin \frac{\alpha}{2}$.

В результате получаем:
$\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}$.

2)

Упростим подкоренное выражение. Для этого раскроем скобки и заменим котангенс и тангенс на отношение синуса и косинуса: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\sin^2 \alpha(1 - \ctg \alpha) + \cos^2 \alpha(1 - \tg \alpha) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Сократив дроби, получим:
$\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \cos \alpha \sin \alpha$.

Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Данное выражение является полным квадратом разности:
$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Следовательно, исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = |\sin \alpha - \cos \alpha|$.

Теперь определим знак выражения $\sin \alpha - \cos \alpha$, зная, что $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.
Этот интервал соответствует IV четверти, в которой синус отрицателен ($\sin \alpha < 0$), а косинус положителен ($\cos \alpha > 0$).

Разность отрицательного и положительного числа всегда является отрицательным числом:
$\sin \alpha - \cos \alpha < 0$.

Таким образом, раскрываем модуль, меняя знак выражения на противоположный:
$|\sin \alpha - \cos \alpha| = -(\sin \alpha - \cos \alpha) = -\sin \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha - \sin \alpha$.

Ответ: $\cos \alpha - \sin \alpha$.