Номер 191, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Докажите тождество:

1) $ \text{ctg} \alpha - \text{ctg} \beta = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} $

2) $ \frac{\sin(\alpha - \beta) + 2 \cos \alpha \sin \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha - \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $

3) $ \sin 2\alpha - \cos 2\alpha \text{tg} \alpha = \text{tg} \alpha $

1) Докажем тождество $ctg \alpha - ctg \beta = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$.

Преобразуем левую часть тождества. По определению, котангенс угла — это отношение косинуса этого угла к его синусу, то есть $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$ctg \alpha - ctg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \sin \beta$:

$\frac{\cos \alpha \sin \beta - \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta}$

Выражение в числителе является формулой синуса разности двух углов: $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$.

Таким образом, левая часть тождества преобразуется к виду:

$\frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin(\alpha - \beta) + 2\cos \alpha \sin \beta}{2\cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha - \beta)} = tg(\alpha + \beta)$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части, используя формулы синуса и косинуса разности углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Преобразуем числитель дроби:

$\sin(\alpha - \beta) + 2\cos \alpha \sin \beta = (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) + 2\cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

Полученное выражение является формулой синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta)$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$2\cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha - \beta) = 2\cos \alpha \cos \beta - (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2\cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Полученное выражение является формулой косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

По определению, тангенс угла — это отношение синуса к косинусу, поэтому $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = tg(\alpha + \beta)$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \ tg \alpha = tg \alpha$.

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулы двойного угла и определение тангенса:

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \ tg \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos \alpha$:

$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin^3 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$

Вынесем $\sin \alpha$ за скобки в числителе:

$\frac{\sin \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)}{\cos \alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим числитель:

$\frac{\sin \alpha \cdot 1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

По определению, $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = tg \alpha$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.