Номер 195, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Дано: $ \sin \alpha = 0,6 $, $ \sin \beta = - \frac{8}{17} $, $ 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} $, $ 180^{\circ} < \beta < 270^{\circ} $.

Найдите: $ \cos(\alpha - \beta) $.

Для того чтобы найти $ \cos(\alpha - \beta) $, необходимо воспользоваться формулой косинуса разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $

В условии даны значения $ \sin\alpha $ и $ \sin\beta $. Чтобы использовать формулу, нам нужно сначала найти значения $ \cos\alpha $ и $ \cos\beta $.

1. Нахождение $ \cos\alpha $

Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \cos\alpha $: $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $.

Нам дано, что $ \sin\alpha = 0,6 $, что эквивалентно $ \frac{3}{5} $. Подставим это значение в формулу:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} $.

Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

По условию задачи, угол $ \alpha $ находится в пределах $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $, что соответствует первой координатной четверти. В первой четверти косинус имеет положительное значение. Следовательно, мы выбираем знак "плюс":

$ \cos\alpha = \frac{4}{5} $.

2. Нахождение $ \cos\beta $

Действуем аналогично, используя тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

Выразим $ \cos\beta $: $ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $.

Нам дано, что $ \sin\beta = -\frac{8}{17} $. Подставим это значение:

$ \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289-64}{289} = \frac{225}{289} $.

Отсюда $ \cos\beta = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17} $.

По условию, угол $ \beta $ находится в пределах $ 180^\circ < \beta < 270^\circ $, что соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти косинус имеет отрицательное значение. Следовательно, мы выбираем знак "минус":

$ \cos\beta = -\frac{15}{17} $.

3. Вычисление $ \cos(\alpha - \beta) $

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в исходную формулу:

• $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $
• $ \cos\alpha = \frac{4}{5} $
• $ \sin\beta = -\frac{8}{17} $
• $ \cos\beta = -\frac{15}{17} $

Подставляем их в формулу $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:

$ \cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) $

Выполняем умножение дробей:

$ \cos(\alpha - \beta) = -\frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 17} - \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 17} = -\frac{60}{85} - \frac{24}{85} $

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{-60 - 24}{85} = -\frac{84}{85} $.

Ответ: $ -\frac{84}{85} $