Номер 183, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Докажите тождество:

1) $ \frac{\cos^3(-7\alpha) + \sin^3 7\alpha}{1 + \cos 7\alpha \sin(-7\alpha)} = \cos 7\alpha + \sin 7\alpha $

2) $ \cos^4 5\varphi - \sin^4 5\varphi + 2\sin^2(-5\varphi) = 1 $

3) $ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha}; $

4) $ \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta + \sin^6 3\beta + \cos^6 3\beta = \sin^4 3\beta + \cos^4 3\beta $

5) $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{\operatorname{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2\operatorname{tg}^2 \alpha $

6) $ \frac{1 + \sqrt{5} \cos \alpha}{\sqrt{5} \sin \alpha - 2} = \frac{\sqrt{5} \sin \alpha + 2}{1 - \sqrt{5} \cos \alpha}, $

7) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} \beta} = -\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

1)

Докажем тождество $ \frac{\cos^3(-7\alpha) + \sin^3 7\alpha}{1 + \cos 7\alpha \sin(-7\alpha)} = \cos 7\alpha + \sin 7\alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $ \cos(-x) = \cos x $ (косинус — четная функция) и $ \sin(-x) = -\sin x $ (синус — нечетная функция).

$ \frac{\cos^3(-7\alpha) + \sin^3 7\alpha}{1 + \cos 7\alpha \sin(-7\alpha)} = \frac{(\cos(7\alpha))^3 + \sin^3 7\alpha}{1 + \cos 7\alpha (-\sin 7\alpha)} = \frac{\cos^3 7\alpha + \sin^3 7\alpha}{1 - \cos 7\alpha \sin 7\alpha} $.

В числителе применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $, где $ a = \cos 7\alpha $ и $ b = \sin 7\alpha $.

$ \cos^3 7\alpha + \sin^3 7\alpha = (\cos 7\alpha + \sin 7\alpha)(\cos^2 7\alpha - \cos 7\alpha \sin 7\alpha + \sin^2 7\alpha) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, имеем $ \cos^2 7\alpha + \sin^2 7\alpha = 1 $. Подставим это в выражение для числителя:

$ (\cos 7\alpha + \sin 7\alpha)(1 - \cos 7\alpha \sin 7\alpha) $.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(\cos 7\alpha + \sin 7\alpha)(1 - \cos 7\alpha \sin 7\alpha)}{1 - \cos 7\alpha \sin 7\alpha} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (1 - \cos 7\alpha \sin 7\alpha) $. Заметим, что $ 1 - \cos 7\alpha \sin 7\alpha = 1 - \frac{1}{2}\sin 14\alpha $, и это выражение никогда не равно нулю, так как $ \sin 14\alpha \neq 2 $.

$ \cos 7\alpha + \sin 7\alpha $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $ \cos^4 5\phi - \sin^4 5\phi + 2\sin^2(-5\phi) = 1 $.

Преобразуем левую часть. Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-5\phi) = -\sin 5\phi $. Тогда $ \sin^2(-5\phi) = (-\sin 5\phi)^2 = \sin^2 5\phi $.

Выражение принимает вид: $ \cos^4 5\phi - \sin^4 5\phi + 2\sin^2 5\phi $.

Разложим разность квадратов $ \cos^4 5\phi - \sin^4 5\phi = (\cos^2 5\phi - \sin^2 5\phi)(\cos^2 5\phi + \sin^2 5\phi) $.

По основному тригонометрическому тождеству $ \cos^2 5\phi + \sin^2 5\phi = 1 $.

Следовательно, $ \cos^4 5\phi - \sin^4 5\phi = \cos^2 5\phi - \sin^2 5\phi $.

Подставим это обратно в левую часть тождества:

$ (\cos^2 5\phi - \sin^2 5\phi) + 2\sin^2 5\phi = \cos^2 5\phi - \sin^2 5\phi + 2\sin^2 5\phi = \cos^2 5\phi + \sin^2 5\phi $.

Вновь применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$ \cos^2 5\phi + \sin^2 5\phi = 1 $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество $ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha} $.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ \sin \alpha (1 + \cos \alpha) $:

$ \frac{(1 + \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} + \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{(1 + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ (1 + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha = (1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin^2 \alpha $.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $:

$ 1 + 2\cos \alpha + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + 2\cos \alpha + 1 = 2 + 2\cos \alpha $.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2(1 + \cos \alpha) $.

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.

Сократим дробь на $ (1 + \cos \alpha) $ (при условии, что $ 1 + \cos \alpha \neq 0 $ и $ \sin \alpha \neq 0 $):

$ \frac{2}{\sin \alpha} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Докажем тождество $ \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta + \sin^6 3\beta + \cos^6 3\beta = \sin^4 3\beta + \cos^4 3\beta $.

Преобразуем левую часть. Сгруппируем степени шестого порядка:

$ \sin^6 3\beta + \cos^6 3\beta + \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta $.

Рассмотрим $ \sin^6 3\beta + \cos^6 3\beta $ как сумму кубов $ (\sin^2 3\beta)^3 + (\cos^2 3\beta)^3 $.

Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $, где $ a = \sin^2 3\beta $ и $ b = \cos^2 3\beta $.

$ (\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta)((\sin^2 3\beta)^2 - \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta + (\cos^2 3\beta)^2) $.

По основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta = 1 $.

Тогда $ \sin^6 3\beta + \cos^6 3\beta = 1 \cdot (\sin^4 3\beta - \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta + \cos^4 3\beta) = \sin^4 3\beta - \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta + \cos^4 3\beta $.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$ (\sin^4 3\beta - \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta + \cos^4 3\beta) + \sin^2 3\beta \cos^2 3\beta $.

Упростим, сократив $ -\sin^2 3\beta \cos^2 3\beta $ и $ +\sin^2 3\beta \cos^2 3\beta $:

$ \sin^4 3\beta + \cos^4 3\beta $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Докажем тождество $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{\text{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2\text{tg}^2 \alpha $.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части.

Числитель: $ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1 $. Раскроем квадрат суммы:

$ (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) - 1 $.

Используя $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем:

$ (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) - 1 = 2\sin \alpha \cos \alpha $.

Знаменатель: $ \text{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha $. Заменим $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:

$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\cos \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} $.

Вынесем $ \cos \alpha $ за скобки в числителе:

$ \frac{\cos \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha} $.

Используя $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $, получаем:

$ \frac{\cos \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = 2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha} $.

Сократим дробь на $ \cos \alpha $:

$ \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 2\text{tg}^2 \alpha $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Докажем тождество $ \frac{1 + \sqrt{5} \cos \alpha}{\sqrt{5} \sin \alpha - 2} = \frac{\sqrt{5} \sin \alpha + 2}{1 - \sqrt{5} \cos \alpha} $.

Данное равенство является пропорцией. Оно будет верным, если произведение крайних членов равно произведению средних членов. Проверим это, выполнив перекрестное умножение:

$ (1 + \sqrt{5} \cos \alpha)(1 - \sqrt{5} \cos \alpha) = (\sqrt{5} \sin \alpha - 2)(\sqrt{5} \sin \alpha + 2) $.

В левой и правой частях воспользуемся формулой разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

Левая часть: $ 1^2 - (\sqrt{5} \cos \alpha)^2 = 1 - 5\cos^2 \alpha $.

Правая часть: $ (\sqrt{5} \sin \alpha)^2 - 2^2 = 5\sin^2 \alpha - 4 $.

Теперь нужно доказать равенство $ 1 - 5\cos^2 \alpha = 5\sin^2 \alpha - 4 $.

Преобразуем левую часть, используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $:

$ 1 - 5(1 - \sin^2 \alpha) = 1 - 5 + 5\sin^2 \alpha = 5\sin^2 \alpha - 4 $.

Мы получили выражение, стоящее в правой части. Так как равенство $ 1 - 5\cos^2 \alpha = 5\sin^2 \alpha - 4 $ является тождеством, то и исходное равенство является тождеством (при условии, что знаменатели не равны нулю).

Ответ: Тождество доказано.

7)

Докажем тождество $ \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{\text{ctg} \alpha - \text{ctg} \beta} = -\text{tg} \alpha \text{tg} \beta $.

Преобразуем знаменатель левой части, выразив котангенсы через тангенсы, используя формулу $ \text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x} $:

$ \text{ctg} \alpha - \text{ctg} \beta = \frac{1}{\text{tg} \alpha} - \frac{1}{\text{tg} \beta} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ \text{tg} \alpha \text{tg} \beta $:

$ \frac{\text{tg} \beta - \text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta} $.

Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$ \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{\frac{\text{tg} \beta - \text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta}} $.

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$ (\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta) \cdot \frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \beta - \text{tg} \alpha} $.

Заметим, что $ \text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = -(\text{tg} \beta - \text{tg} \alpha) $. Подставим это в выражение:

$ -(\text{tg} \beta - \text{tg} \alpha) \cdot \frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \beta - \text{tg} \alpha} $.

Сократим на $ (\text{tg} \beta - \text{tg} \alpha) $ (при условии, что $ \text{tg} \alpha \neq \text{tg} \beta $):

$ -\text{tg} \alpha \text{tg} \beta $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.