Страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \operatorname{tg} x$; 2) $y = \operatorname{ctg} x$:

1) A $(-\frac{17\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3});$

2) B $(-\frac{13\pi}{4}; -1);$

3) C $(\frac{16\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3});$

4) D $(-\frac{5\pi}{3}, \sqrt{3});$

5) E $(-5\pi; 0)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить значение $x_0$ в функцию и проверить, равно ли полученное значение $f(x_0)$ значению $y_0$.

1) y = tg x

Проверим последовательно каждую из указанных точек:

1) A $(-\frac{17\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции $y = \tg x$ при $x = -\frac{17\pi}{6}$. Используя периодичность тангенса (период $T = \pi$):
$y = \tg(-\frac{17\pi}{6}) = \tg(-\frac{17\pi}{6} + 3\pi) = \tg(-\frac{17\pi}{6} + \frac{18\pi}{6}) = \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ совпадает с y-координатой точки A. Следовательно, точка A принадлежит графику функции $y = \tg x$.

2) B $(\frac{13\pi}{4}; -1)$
Вычислим значение функции при $x = \frac{13\pi}{4}$:
$y = \tg(\frac{13\pi}{4}) = \tg(\frac{12\pi+\pi}{4}) = \tg(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Полученное значение $1$ не равно y-координате точки B (которая равна $-1$). Следовательно, точка B не принадлежит графику.

3) C $(\frac{16\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции при $x = \frac{16\pi}{3}$:
$y = \tg(\frac{16\pi}{3}) = \tg(\frac{15\pi+\pi}{3}) = \tg(5\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Полученное значение $\sqrt{3}$ не равно y-координате точки C. Следовательно, точка C не принадлежит графику.

4) D $(-\frac{5\pi}{3}; \sqrt{3})$
Вычислим значение функции при $x = -\frac{5\pi}{3}$:
$y = \tg(-\frac{5\pi}{3}) = \tg(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Полученное значение $\sqrt{3}$ совпадает с y-координатой точки D. Следовательно, точка D принадлежит графику.

5) E $(-5\pi; 0)$
Вычислим значение функции при $x = -5\pi$:
$y = \tg(-5\pi) = \tg(-5\pi + 5\pi) = \tg(0) = 0$.
Полученное значение $0$ совпадает с y-координатой точки E. Следовательно, точка E принадлежит графику.

Ответ: Графику функции $y = \tg x$ принадлежат точки A, D, E.

2) y = ctg x

Проверим последовательно каждую из указанных точек:

1) A $(-\frac{17\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции $y = \ctg x$ при $x = -\frac{17\pi}{6}$. Используя периодичность котангенса (период $T = \pi$):
$y = \ctg(-\frac{17\pi}{6}) = \ctg(-\frac{17\pi}{6} + 3\pi) = \ctg(-\frac{17\pi}{6} + \frac{18\pi}{6}) = \ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
Полученное значение $\sqrt{3}$ не равно y-координате точки A. Следовательно, точка A не принадлежит графику.

2) B $(\frac{13\pi}{4}; -1)$
Вычислим значение функции при $x = \frac{13\pi}{4}$:
$y = \ctg(\frac{13\pi}{4}) = \ctg(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Полученное значение $1$ не равно y-координате точки B. Следовательно, точка B не принадлежит графику.

3) C $(\frac{16\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$
Вычислим значение функции при $x = \frac{16\pi}{3}$:
$y = \ctg(\frac{16\pi}{3}) = \ctg(5\pi + \frac{\pi}{3}) = \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ совпадает с y-координатой точки C. Следовательно, точка C принадлежит графику функции $y = \ctg x$.

4) D $(-\frac{5\pi}{3}; \sqrt{3})$
Вычислим значение функции при $x = -\frac{5\pi}{3}$:
$y = \ctg(-\frac{5\pi}{3}) = \ctg(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ не равно y-координате точки D. Следовательно, точка D не принадлежит графику.

5) E $(-5\pi; 0)$
Функция $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена в точках, где $\sin x = 0$, то есть при $x = k\pi$, где $k$ - целое число. Так как $x = -5\pi$ является точкой такого вида, функция в ней не определена. Следовательно, точка E не может принадлежать графику.

Ответ: Графику функции $y = \ctg x$ принадлежит точка C.

174. На промежутке $\left[ -\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x;$

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x$.

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x$

Нули функции $y = \operatorname{tg} x$ — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Таким образом, нам нужно решить уравнение $\operatorname{tg} x = 0$.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому уравнение $\operatorname{tg} x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$.

Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо найти те значения $x$ из этой серии, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} \le \pi n \le \frac{11\pi}{6}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{11}{6}$

Приближенные значения границ: $-\frac{1}{6} \approx -0,17$ и $\frac{11}{6} \approx 1,83$.

Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, это $n=0$ и $n=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=0$, $x = \pi \cdot 0 = 0$.
• При $n=1$, $x = \pi \cdot 1 = \pi$.

Проверим, входят ли эти значения в заданный промежуток: $0 \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$ и $\pi \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Оба значения подходят.

Ответ: $0; \pi$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x$

Область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ состоит из всех действительных чисел, для которых знаменатель в выражении $\frac{\sin x}{\cos x}$ не равен нулю. То есть, $\cos x \neq 0$.

Следовательно, числа, которые не принадлежат области определения, — это корни уравнения $\cos x = 0$.

Общее решение уравнения $\cos x = 0$ имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо найти те значения $x$ из этой серии, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{11\pi}{6}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{11}{6}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{1}{6} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{11}{6} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} \le k \le \frac{11}{6} - \frac{3}{6}$

$-\frac{4}{6} \le k \le \frac{8}{6}$

$-\frac{2}{3} \le k \le \frac{4}{3}$

Приближенные значения границ: $-\frac{2}{3} \approx -0,67$ и $\frac{4}{3} \approx 1,33$.

Целые числа $k$, которые удовлетворяют этому неравенству, это $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.

Проверим, входят ли эти значения в заданный промежуток: $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$ и $\frac{3\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}]$. Оба значения подходят.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

175. Сравните:

1) $tg \frac{29\pi}{10}$ и $tg \frac{26\pi}{9}$;

2) $tg (-205^\circ)$ и $tg (-203^\circ)$;

3) $tg 7$ и $tg 7,5$;

4) $ctg \left(-\frac{25\pi}{12}\right)$ и $ctg \left(-\frac{15\pi}{7}\right)$;

5) $ctg 258^\circ$ и $ctg 256^\circ$;

6) $ctg (-5)$ и $ctg (-5,5)$.

1) Сравним $tg\frac{29\pi}{10}$ и $tg\frac{26\pi}{9}$.

Для начала упростим аргументы, используя периодичность функции тангенс (период $T=\pi$).

$tg\frac{29\pi}{10} = tg(2.9\pi) = tg(2.9\pi - 2\pi) = tg(0.9\pi) = tg\frac{9\pi}{10}$.

$tg\frac{26\pi}{9} = tg(2\frac{8}{9}\pi) = tg(2\pi + \frac{8\pi}{9}) = tg\frac{8\pi}{9}$.

Теперь нужно сравнить $tg\frac{9\pi}{10}$ и $tg\frac{8\pi}{9}$. Оба угла принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, который является частью интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, где функция $y = tg(x)$ возрастает.

Сравним значения аргументов: $\frac{9\pi}{10}$ и $\frac{8\pi}{9}$. Для этого сравним дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{8}{9}$. Приведем их к общему знаменателю: $\frac{9}{10} = \frac{81}{90}$ и $\frac{8}{9} = \frac{80}{90}$.

Так как $\frac{81}{90} > \frac{80}{90}$, то $\frac{9\pi}{10} > \frac{8\pi}{9}$.

Поскольку на данном интервале функция $y = tg(x)$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg\frac{9\pi}{10} > tg\frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $tg\frac{29\pi}{10} > tg\frac{26\pi}{9}$.

2) Сравним $tg(-205^{\circ})$ и $tg(-203^{\circ})$.

Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на каждом интервале вида $(-90^{\circ} + 180^{\circ}k, 90^{\circ} + 180^{\circ}k)$, где $k$ — целое число.

При $k = -1$ получаем интервал $(-270^{\circ}, -90^{\circ})$. Оба угла, $-205^{\circ}$ и $-203^{\circ}$, принадлежат этому интервалу.

Сравним аргументы: $-205^{\circ} < -203^{\circ}$.

Так как на интервале $(-270^{\circ}, -90^{\circ})$ функция $y = tg(x)$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, $tg(-205^{\circ}) < tg(-203^{\circ})$.

Ответ: $tg(-205^{\circ}) < tg(-203^{\circ})$.

3) Сравним $tg(7)$ и $tg(7.5)$.

Аргументы даны в радианах. Определим интервал монотонности для функции $y = tg(x)$. Функция возрастает на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Возьмем $k=2$, получим интервал $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2})$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, найдем границы интервала: $(\frac{3 \cdot 3.14}{2}, \frac{5 \cdot 3.14}{2}) \approx (4.71, 7.85)$.

Оба значения, 7 и 7.5, находятся внутри этого интервала.

Сравним аргументы: $7 < 7.5$.

Поскольку на данном интервале функция $y = tg(x)$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, $tg(7) < tg(7.5)$.

Ответ: $tg(7) < tg(7.5)$.

4) Сравним $ctg(-\frac{25\pi}{12})$ и $ctg(-\frac{15\pi}{7})$.

Функция $y = ctg(x)$ является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Поэтому $ctg(-\frac{25\pi}{12}) = -ctg(\frac{25\pi}{12})$ и $ctg(-\frac{15\pi}{7}) = -ctg(\frac{15\pi}{7})$.

Сравнение исходных величин эквивалентно сравнению $ctg(\frac{15\pi}{7})$ и $ctg(\frac{25\pi}{12})$ с последующей сменой знака неравенства.

Упростим аргументы, используя периодичность котангенса (период $T=\pi$):

$ctg(\frac{25\pi}{12}) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{12}) = ctg(\frac{\pi}{12})$.

$ctg(\frac{15\pi}{7}) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{7}) = ctg(\frac{\pi}{7})$.

Теперь сравним $ctg(\frac{\pi}{12})$ и $ctg(\frac{\pi}{7})$. Оба угла принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = ctg(x)$ убывает.

Сравним аргументы: $\frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{7}$.

Так как функция $y = ctg(x)$ убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции: $ctg(\frac{\pi}{12}) > ctg(\frac{\pi}{7})$.

Таким образом, $ctg(\frac{25\pi}{12}) > ctg(\frac{15\pi}{7})$. Умножая на -1, меняем знак неравенства: $-ctg(\frac{25\pi}{12}) < -ctg(\frac{15\pi}{7})$.

Ответ: $ctg(-\frac{25\pi}{12}) < ctg(-\frac{15\pi}{7})$.

5) Сравним $ctg(258^{\circ})$ и $ctg(256^{\circ})$.

Функция $y = ctg(x)$ является убывающей на каждом интервале вида $(180^{\circ}k, 180^{\circ} + 180^{\circ}k)$, где $k$ — целое число.

При $k=1$ получаем интервал $(180^{\circ}, 360^{\circ})$. Оба угла, $256^{\circ}$ и $258^{\circ}$, принадлежат этому интервалу.

Сравним аргументы: $258^{\circ} > 256^{\circ}$.

Поскольку на данном интервале функция $y = ctg(x)$ убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, $ctg(258^{\circ}) < ctg(256^{\circ})$.

Ответ: $ctg(258^{\circ}) < ctg(256^{\circ})$.

6) Сравним $ctg(-5)$ и $ctg(-5.5)$.

Аргументы даны в радианах. Так как $y = ctg(x)$ — нечетная функция, то $ctg(-5) = -ctg(5)$ и $ctg(-5.5) = -ctg(5.5)$.

Сравним $ctg(5)$ и $ctg(5.5)$, а затем учтем знак минус. Функция $y = ctg(x)$ убывает на интервалах вида $(\pi k, \pi + \pi k)$.

При $k=1$ получаем интервал $(\pi, 2\pi)$. Используя $\pi \approx 3.14$, имеем интервал $(3.14, 6.28)$.

Оба значения, 5 и 5.5, находятся внутри этого интервала убывания.

Сравним аргументы: $5 < 5.5$.

Так как функция $y = ctg(x)$ убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции: $ctg(5) > ctg(5.5)$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-ctg(5) < -ctg(5.5)$.

Следовательно, $ctg(-5) < ctg(-5.5)$.

Ответ: $ctg(-5) < ctg(-5.5)$.

176. Сравните:

1) $\text{tg } 42^\circ$ и $\text{ctg } 42^\circ$;

2) $\text{tg } 61^\circ$ и $\text{ctg } 32^\circ$;

3) $\text{tg } 51^\circ$ и $\text{cos } 6^\circ$.

1) Для сравнения $tg(42\degree)$ и $ctg(42\degree)$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций в первой четверти ($0\degree < \alpha < 90\degree$).

Функция $y = tg(x)$ возрастает на интервале $(0\degree; 90\degree)$. Известно, что $tg(45\degree) = 1$.

Поскольку $42\degree < 45\degree$, то и $tg(42\degree) < tg(45\degree)$, следовательно, $tg(42\degree) < 1$.

Котангенс связан с тангенсом формулой $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}$.

Так как $tg(42\degree)$ — положительное число, меньшее 1, то обратная ему величина $ctg(42\degree) = \frac{1}{tg(42\degree)}$ будет больше 1.

Таким образом, $tg(42\degree) < 1$, а $ctg(42\degree) > 1$. Из этого следует, что $tg(42\degree) < ctg(42\degree)$.

Ответ: $tg(42\degree) < ctg(42\degree)$.

2) Для сравнения $tg(61\degree)$ и $ctg(32\degree)$ приведем обе функции к одной, например, к тангенсу. Используем формулу приведения: $ctg(\alpha) = tg(90\degree - \alpha)$.

Применим эту формулу к $ctg(32\degree)$:

$ctg(32\degree) = tg(90\degree - 32\degree) = tg(58\degree)$.

Теперь задача сводится к сравнению $tg(61\degree)$ и $tg(58\degree)$.

Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на интервале $(0\degree; 90\degree)$. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $61\degree > 58\degree$, то $tg(61\degree) > tg(58\degree)$.

Заменяя $tg(58\degree)$ обратно на $ctg(32\degree)$, получаем $tg(61\degree) > ctg(32\degree)$.

Ответ: $tg(61\degree) > ctg(32\degree)$.

3) Для сравнения $tg(51\degree)$ и $cos(6\degree)$ сравним каждое из этих значений с единицей.

Рассмотрим $tg(51\degree)$. Функция $y = tg(x)$ возрастает в первой четверти. Мы знаем, что $tg(45\degree) = 1$.

Так как $51\degree > 45\degree$, то $tg(51\degree) > tg(45\degree)$, что означает $tg(51\degree) > 1$.

Рассмотрим $cos(6\degree)$. Максимальное значение косинуса равно 1 и достигается при угле $0\degree$. Для любого острого угла $\alpha$ ($0\degree < \alpha < 90\degree$) значение $cos(\alpha) < 1$.

Следовательно, $cos(6\degree) < 1$.

Итак, мы получили, что $tg(51\degree) > 1$, а $cos(6\degree) < 1$. Отсюда следует, что $tg(51\degree) > cos(6\degree)$.

Ответ: $tg(51\degree) > cos(6\degree)$.

177. Возможно ли равенство:

1) $cos \alpha = \sqrt{3} \text{ctg}65^{\circ}$;

2) $sin \alpha = \text{tg}55^{\circ}$?

1) cos α = √3 ctg 65°

Чтобы определить, возможно ли данное равенство, необходимо оценить значение выражения в правой части и сравнить его с областью значений функции косинус.

Область значений функции $ \cos \alpha $ — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого угла $ \alpha $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \cos \alpha \le 1 $.

Рассмотрим правую часть равенства: $ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ $.

Нам известны значения котангенса для некоторых углов, например, $ \operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Функция $ y = \operatorname{ctg} x $ является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $. Поскольку $ 65^\circ > 60^\circ $, то $ \operatorname{ctg} 65^\circ < \operatorname{ctg} 60^\circ $.

Подставим известное значение:

$ \operatorname{ctg} 65^\circ < \frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь умножим обе части неравенства на $ \sqrt{3} $ (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

$ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ < \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} $

$ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ < 1 $

Так как угол $ 65^\circ $ находится в первой четверти, его котангенс положителен: $ \operatorname{ctg} 65^\circ > 0 $. Следовательно, и произведение $ \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ $ тоже положительно.

Таким образом, мы получили, что $ 0 < \sqrt{3} \operatorname{ctg} 65^\circ < 1 $.

Значение правой части равенства находится в интервале $ (0; 1) $, который полностью входит в область значений косинуса $ [-1; 1] $. Следовательно, существует такой угол $ \alpha $, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) sin α = tg 55°

Аналогично первому пункту, сравним значение правой части с областью значений функции синус.

Область значений функции $ \sin \alpha $ — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого угла $ \alpha $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $.

Рассмотрим правую часть равенства: $ \operatorname{tg} 55^\circ $.

Нам известно значение тангенса для угла $ 45^\circ $: $ \operatorname{tg} 45^\circ = 1 $.

Функция $ y = \operatorname{tg} x $ является возрастающей на интервале $ (-90^\circ; 90^\circ) $. Поскольку $ 55^\circ > 45^\circ $, то $ \operatorname{tg} 55^\circ > \operatorname{tg} 45^\circ $.

Подставим известное значение:

$ \operatorname{tg} 55^\circ > 1 $

Значение правой части равенства больше 1, в то время как максимальное значение функции $ \sin \alpha $ равно 1. Таким образом, $ \sin \alpha $ не может быть равен $ \operatorname{tg} 55^\circ $, так как $ \sin \alpha \le 1 $, а $ \operatorname{tg} 55^\circ > 1 $.

Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

178. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = 2\operatorname{ctg} x - 1;$

3) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{3}.$

4) $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2.$

1) $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4})$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \text{ctg}x$ путем преобразований.

1. Базовая функция: $y = \text{ctg}x$. Это убывающая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты находятся в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$, а нули (точки пересечения с осью Ox) — в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(x+c)$, где $f(x) = \text{ctg}x$ и $c = \frac{\pi}{4}$. Это означает, что график базовой функции $y = \text{ctg}x$ должен быть сдвинут (параллельно перенесен) вдоль оси Ox влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

3. Свойства и построение:

• Период: Период функции не изменяется при горизонтальном сдвиге, поэтому он остается равным $\pi$.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты также сдвигаются влево на $\frac{\pi}{4}$. Их новые уравнения: $x + \frac{\pi}{4} = k\pi$, то есть $x = k\pi - \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты будут при $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$, $x = \frac{7\pi}{4}$ и т.д.
• Нули функции: Нули также сдвигаются влево на $\frac{\pi}{4}$. Их новые координаты: $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Для $y=\text{ctg}x$ характерны точки $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(\frac{3\pi}{4}, -1)$. Сдвигаем их влево на $\frac{\pi}{4}$:
  • $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$, $y = \text{ctg}(0 + \frac{\pi}{4}) = 1$. Точка $(0, 1)$.
  • $x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график функции $y = \text{ctg}x$.
2. Сдвинуть весь график, включая асимптоты, влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4})$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{ctg}x$ влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$.

2) $y = 2\text{ctg}x - 1$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \text{ctg}x$ в два шага.

1. Базовая функция: $y = \text{ctg}x$.

2. Преобразования:

• Шаг 1: Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза. Получаем промежуточную функцию $y_1 = 2\text{ctg}x$. Каждая ордината графика $y=\text{ctg}x$ умножается на 2.
• Шаг 2: Сдвиг вниз вдоль оси Oy на 1 единицу. Получаем итоговую функцию $y = 2\text{ctg}x - 1$.

3. Свойства и построение:

• Период: Вертикальное растяжение и сдвиг не влияют на период, поэтому он остается равным $\pi$.
• Асимптоты: Асимптоты зависят только от аргумента котангенса, который равен $x$. Поэтому вертикальные асимптоты остаются такими же, как у $y = \text{ctg}x$: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$:
  $2\text{ctg}x - 1 = 0 \Rightarrow \text{ctg}x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \text{arcctg}(\frac{1}{2}) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Преобразуем характерные точки графика $y = \text{ctg}x$, например, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$:
  • $x = \frac{\pi}{4}$: $y = 2\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$.
  • $x = \frac{\pi}{2}$: $y = 2\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
  • $x = \frac{3\pi}{4}$: $y = 2\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) - 1 = 2 \cdot (-1) - 1 = -3$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, -3)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график функции $y = \text{ctg}x$.
2. Растянуть его от оси Ox в 2 раза (умножить все значения y на 2).
3. Сдвинуть полученный график вниз по оси Oy на 1.

Ответ: График функции $y = 2\text{ctg}x - 1$ получается из графика $y = \text{ctg}x$ путем растяжения вдоль оси ординат в 2 раза и последующего сдвига вниз на 1 единицу.

3) $y = \text{tg}\frac{x}{3}$

График этой функции получается из графика $y = \text{tg}x$ путем горизонтального растяжения.

1. Базовая функция: $y = \text{tg}x$. Это возрастающая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, а нули — в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(ax)$, где $f(x) = \text{tg}x$ и $a = \frac{1}{3}$. Это означает, что график базовой функции $y = \text{tg}x$ растягивается вдоль оси Ox в $\frac{1}{a} = 3$ раза.

3. Свойства и построение:

• Период: Новый период $T' = \frac{T}{|a|} = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.
• Асимптоты: Положение асимптот изменится. Найдем его из условия: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Отсюда $x = \frac{3\pi}{2} + 3k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: Найдем новые нули из условия: $\frac{x}{3} = k\pi$. Отсюда $x = 3k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Для $y = \text{tg}x$ характерны точки $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(-\frac{\pi}{4}, -1)$. Найдем соответствующие точки для новой функции:
  • Чтобы получить $y=1$, нужно чтобы $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4}$, то есть $x = \frac{3\pi}{4}$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 1)$.
  • Чтобы получить $y=-1$, нужно чтобы $\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4}$, то есть $x = -\frac{3\pi}{4}$. Точка $(-\frac{3\pi}{4}, -1)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график функции $y = \text{tg}x$.
2. Растянуть его от оси Oy в 3 раза (умножить все абсциссы на 3).

Ответ: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{3}$ получается из графика $y = \text{tg}x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс в 3 раза.

4) $y = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2$

График этой функции получается из графика $y = \text{tg}x$ в результате нескольких последовательных преобразований.

1. Базовая функция: $y = \text{tg}x$.

2. Последовательность преобразований:

• Шаг 1: Сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$. Получаем $y_1 = \text{tg}(x + \frac{\pi}{3})$.
• Шаг 2: Растяжение вдоль оси Oy в 3 раза. Получаем $y_2 = 3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3})$.
• Шаг 3: Симметричное отражение относительно оси Ox. Получаем $y_3 = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3})$.
• Шаг 4: Сдвиг вверх на 2 единицы. Получаем итоговую функцию $y = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2$.

3. Свойства и построение:

• Период: Ни одно из преобразований не меняет период, поэтому он остается равным $\pi$.
• Асимптоты: Их положение зависит от горизонтального сдвига. Найдем его из условия, что аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$:
  $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки перегиба: У графика $y=\text{tg}x$ точки перегиба находятся в его нулях, например, в (0,0). Проследим за этой точкой:
  1. Сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$: $(-\frac{\pi}{3}, 0)$.
  2. Растяжение и отражение не меняют эту точку, т.к. её ордината равна 0.
  3. Сдвиг вверх на 2: $(-\frac{\pi}{3}, 2)$.
  Таким образом, точки перегиба графика находятся в точках $(-\frac{\pi}{3} + k\pi, 2)$.
• Нули функции: Решим уравнение $y=0$:
  $-3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2 = 0 \Rightarrow \text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{2}{3} \Rightarrow x + \frac{\pi}{3} = \text{arctg}(\frac{2}{3}) + k\pi \Rightarrow x = \text{arctg}(\frac{2}{3}) - \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Ключевые точки: Возьмем точки, где аргумент тангенса равен $\pm\frac{\pi}{4}$:
  • $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12}$. $y = -3\text{tg}(\frac{\pi}{4}) + 2 = -3 \cdot 1 + 2 = -1$. Точка $(-\frac{\pi}{12}, -1)$.
  • $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x = -\frac{7\pi}{12}$. $y = -3\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) + 2 = -3 \cdot (-1) + 2 = 5$. Точка $(-\frac{7\pi}{12}, 5)$.

Алгоритм построения:
1. Построить график $y=\text{tg}x$.
2. Сдвинуть его влево на $\frac{\pi}{3}$.
3. Растянуть от оси Ox в 3 раза.
4. Отразить симметрично относительно оси Ox.
5. Сдвинуть вверх на 2.

Ответ: График функции $y = -3\text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ получается из графика $y = \text{tg}x$ последовательным применением сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$, растяжения вдоль оси Oy в 3 раза, отражения относительно оси Ox и сдвига вверх на 2 единицы.

179. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{tg} 2|x|;$

2) $y = \operatorname{ctg} x + |\operatorname{ctg} x|$.

1) $y = \operatorname{tg} 2|x|$

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} 2|x|$ проанализируем её свойства.

1. Так как аргумент функции содержит $|x|$, функция является четной. Это означает, что $y(-x) = \operatorname{tg}(2|-x|) = \operatorname{tg}(2|x|) = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Благодаря симметрии, мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси OY, чтобы получить полную картину.

3. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{tg}(2x)$.

4. Построим график функции $y = \operatorname{tg}(2x)$ для $x \ge 0$.

• Это график функции $y = \operatorname{tg} x$, сжатый по горизонтали в 2 раза.
• Период функции $y = \operatorname{tg}(2x)$ равен $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты находятся из условия $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
• Для $x \ge 0$ асимптотами будут прямые $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$ и т.д.
• Нули функции находятся в точках, где $2x = \pi k$, т.е. $x = \frac{\pi k}{2}$. Для $x \ge 0$ это точки $x = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$ и т.д.

5. Построив ветви тангенсоиды $y = \operatorname{tg}(2x)$ в правой полуплоскости ($x \ge 0$), мы отражаем их симметрично относительно оси OY. В результате в левой полуплоскости ($x < 0$) появятся симметричные ветви с асимптотами $x = -\frac{\pi}{4}, x = -\frac{3\pi}{4}$ и т.д.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} 2|x|$ строится следующим образом: сначала строится график функции $y = \operatorname{tg} 2x$ для $x \ge 0$, а затем эта часть графика симметрично отражается относительно оси Oy.

2) $y = \operatorname{ctg} x + |\operatorname{ctg} x|$

Для построения графика этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 2\operatorname{ctg} x$. Неравенство $\operatorname{ctg} x \ge 0$ выполняется в I и III координатных четвертях, то есть на интервалах $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$. Неравенство $\operatorname{ctg} x < 0$ выполняется во II и IV координатных четвертях, то есть на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $ y = \begin{cases} 2\operatorname{ctg} x, & \text{если } x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k] \\ 0, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k) \end{cases} $

3. Построим график, основываясь на этом определении.

• В интервалах вида $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, например, в $(0, \frac{\pi}{2}]$, $(\pi, \frac{3\pi}{2}]$ и т.д., мы строим график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$. Это график котангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси OY. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x=\pi k$.
• В интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, например, в $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ и т.д., мы строим график функции $y = 0$. Это отрезки, лежащие на оси OX.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x + |\operatorname{ctg} x|$ представляет собой совокупность участков. На интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, это график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$. На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, это график функции $y = 0$ (отрезок на оси Ох).