Страница 131 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Найдите значение выражения:

1) $6\sin 270^\circ - 3\cos 0^\circ + 4\operatorname{ctg} 90^\circ;$

2) $5\cos \frac{3\pi}{2} - 7\sin \frac{3\pi}{2} + \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2};$

3) $\cos 30^\circ \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{ctg} 45^\circ;$

4) $\frac{\left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6}\right) \cdot 4\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{\cos \pi + 2\sin \frac{\pi}{2}};$

5) $\sqrt{\left(\operatorname{ctg} 30^\circ + 2\right)^2} + \sqrt{\left(\operatorname{tg} 60^\circ - 2\right)^2}.$

1) $6\sin{270^\circ} - 3\cos{0^\circ} + 4\operatorname{ctg}{90^\circ}$

Найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\sin{270^\circ} = -1$

$\cos{0^\circ} = 1$

$\operatorname{ctg}{90^\circ} = \frac{\cos{90^\circ}}{\sin{90^\circ}} = \frac{0}{1} = 0$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$6 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -6 - 3 + 0 = -9$

Ответ: $-9$

2) $5\cos{\frac{3\pi}{2}} - 7\sin{\frac{3\pi}{2}} + \operatorname{ctg}{\frac{3\pi}{2}}$

Найдем значения тригонометрических функций для заданного угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $270^\circ$):

$\cos{\frac{3\pi}{2}} = 0$

$\sin{\frac{3\pi}{2}} = -1$

$\operatorname{ctg}{\frac{3\pi}{2}} = \frac{\cos{\frac{3\pi}{2}}}{\sin{\frac{3\pi}{2}}} = \frac{0}{-1} = 0$

Подставим значения в выражение:

$5 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 0 = 0 + 7 + 0 = 7$

Ответ: $7$

3) $\cos{30^\circ}\operatorname{tg}{60^\circ}\operatorname{ctg}{45^\circ}$

Найдем значения тригонометрических функций из таблицы:

$\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}{60^\circ} = \sqrt{3}$

$\operatorname{ctg}{45^\circ} = 1$

Перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $\frac{3}{2}$

4) $\frac{(\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{\pi}{6}}) \cdot 4\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\pi} + 2\sin{\frac{\pi}{2}}}$

Найдем значения всех тригонометрических функций в выражении:

$\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}$

$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

$\cos{\pi} = -1$

$\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$

Теперь подставим эти значения в выражение. Сначала вычислим числитель:

$(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 4 \cdot 1 = (\frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 4 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$

Теперь вычислим знаменатель:

$-1 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$

Найдем значение дроби:

$\frac{6\sqrt{3}}{1} = 6\sqrt{3}$

Ответ: $6\sqrt{3}$

5) $\sqrt{(\operatorname{ctg}{30^\circ} + 2)^2} + \sqrt{(\operatorname{tg}{60^\circ} - 2)^2}$

Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$).

$\sqrt{(\operatorname{ctg}{30^\circ} + 2)^2} + \sqrt{(\operatorname{tg}{60^\circ} - 2)^2} = |\operatorname{ctg}{30^\circ} + 2| + |\operatorname{tg}{60^\circ} - 2|$

Найдем значения тригонометрических функций:

$\operatorname{ctg}{30^\circ} = \sqrt{3}$

$\operatorname{tg}{60^\circ} = \sqrt{3}$

Подставим значения в выражение:

$|\sqrt{3} + 2| + |\sqrt{3} - 2|$

Оценим значения выражений под знаком модуля. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Выражение $\sqrt{3} + 2 \approx 1.732 + 2 = 3.732$, что больше нуля. Следовательно, $|\sqrt{3} + 2| = \sqrt{3} + 2$.

Выражение $\sqrt{3} - 2 \approx 1.732 - 2 = -0.268$, что меньше нуля. Следовательно, $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$(\sqrt{3} + 2) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3} = 4$

Ответ: $4$

150. Найдите значение выражения $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)$ при:

1) $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 15^\circ$;

2) $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\beta = \frac{\pi}{6}$.

Для нахождения значения выражения $sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta)$ для каждой пары углов, мы сначала вычислим сумму $(\alpha + \beta)$ и разность $(\alpha - \beta)$, а затем найдем произведение синусов полученных углов.

Подставим заданные значения $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

Сначала найдем сумму и разность углов:

$\alpha + \beta = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$

$\alpha - \beta = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = sin(60^\circ)sin(30^\circ)$

Используем табличные значения синусов:

$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Выполним умножение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Подставим заданные значения $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{6}$.

Найдем сумму и разность углов:

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\alpha - \beta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = sin(\frac{\pi}{2})sin(\frac{\pi}{6})$

Используем табличные значения синусов:

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Выполним умножение:

$1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

151. Возможно ли равенство:

1) $sin \alpha = \frac{2}{3}$;

2) $cos \alpha = -\sqrt[3]{0,6}$;

3) $cos \alpha = \frac{\pi}{3}$;

4) $sin \alpha = \sqrt{5} - \sqrt{3}$?

Для того чтобы определить, возможно ли данное равенство, необходимо проверить, принадлежит ли значение тригонометрической функции области ее значений. Область значений для синуса и косинуса — это промежуток $[-1, 1]$. Таким образом, для любого угла $\alpha$ должны выполняться неравенства:
$-1 \le \sin \alpha \le 1$
$-1 \le \cos \alpha \le 1$
Проверим каждое из предложенных равенств.

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3}$

Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{2}{3} \le 1$.
Дробь $\frac{2}{3}$ является правильной, так как числитель меньше знаменателя ($2 < 3$).
Это означает, что $0 < \frac{2}{3} < 1$.
Поскольку значение $\frac{2}{3}$ находится в промежутке $[-1, 1]$, данное равенство возможно.
Ответ: возможно.

2) $\cos \alpha = -\sqrt[3]{0,6}$

Проверим, находится ли значение $-\sqrt[3]{0,6}$ в промежутке $[-1, 1]$.
Рассмотрим подкоренное выражение: $0 < 0,6 < 1$.
Функция кубического корня является возрастающей, поэтому из $0 < 0,6 < 1$ следует, что $\sqrt[3]{0} < \sqrt[3]{0,6} < \sqrt[3]{1}$, то есть $0 < \sqrt[3]{0,6} < 1$.
Умножив все части неравенства на -1, мы изменим знаки неравенства на противоположные:
$-1 \cdot 0 > -1 \cdot \sqrt[3]{0,6} > -1 \cdot 1$
$0 > -\sqrt[3]{0,6} > -1$
Это можно записать как $-1 < -\sqrt[3]{0,6} < 0$.
Значение $-\sqrt[3]{0,6}$ принадлежит промежутку $[-1, 1]$, следовательно, равенство возможно.
Ответ: возможно.

3) $\cos \alpha = \frac{\pi}{3}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{\pi}{3} \le 1$.
Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительно равная $3,14159...$
Поскольку $\pi > 3$, то при делении на 3 мы получаем $\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} > 1$.
Значение $\frac{\pi}{3}$ больше 1 и, следовательно, не входит в область значений функции косинуса $[-1, 1]$.
Таким образом, данное равенство невозможно.
Ответ: невозможно.

4) $\sin \alpha = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$.
Во-первых, так как $5 > 3$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$, и их разность $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ является положительным числом. Значит, $\sqrt{5} - \sqrt{3} > 0 > -1$.
Во-вторых, сравним значение $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ с 1. Предположим, что $\sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$.
Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть: $\sqrt{5} \le 1 + \sqrt{3}$.
Обе части этого неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{5})^2 \le (1 + \sqrt{3})^2$
$5 \le 1^2 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
$5 \le 1 + 2\sqrt{3} + 3$
$5 \le 4 + 2\sqrt{3}$
Вычтем 4 из обеих частей: $1 \le 2\sqrt{3}$.
Разделим на 2: $\frac{1}{2} \le \sqrt{3}$.
Возведем обе части в квадрат еще раз: $(\frac{1}{2})^2 \le (\sqrt{3})^2$, что дает $\frac{1}{4} \le 3$.
Последнее неравенство $0,25 \le 3$ является верным. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное предположение $\sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$ также верно.
Таким образом, $0 < \sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$, и это значение принадлежит промежутку $[-1, 1]$. Равенство возможно.
Ответ: возможно.

152. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 - 5\cos\alpha;$

2) $4 + \sin^2 \alpha;$

3) $\frac{\sin \alpha(3 - \cos \alpha)}{\sin \alpha}.$

1) $1 - 5 \cos \alpha$

Область значений функции косинуса находится в промежутке от -1 до 1, то есть $ -1 \le \cos \alpha \le 1 $.

Чтобы найти диапазон значений всего выражения, выполним преобразования с этим неравенством. Сначала умножим все части неравенства на $-5$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-5) \ge -5 \cos \alpha \ge 1 \cdot (-5)$

$5 \ge -5 \cos \alpha \ge -5$

Запишем в более привычном порядке:

$-5 \le -5 \cos \alpha \le 5$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 - 5 \le 1 - 5 \cos \alpha \le 1 + 5$

$-4 \le 1 - 5 \cos \alpha \le 6$

Наименьшее значение выражения равно -4 (достигается, когда $\cos \alpha = 1$).

Наибольшее значение выражения равно 6 (достигается, когда $\cos \alpha = -1$).

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшее значение 6.

2) $4 + \sin^2 \alpha$

Область значений функции синуса: $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $.

Когда мы возводим в квадрат значения из этого промежутка, результат будет всегда неотрицательным. Минимальное значение будет $0^2=0$, а максимальное будет $(\pm 1)^2=1$. Таким образом, область значений для $\sin^2 \alpha$:

$0 \le \sin^2 \alpha \le 1$

Теперь прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 + 0 \le 4 + \sin^2 \alpha \le 4 + 1$

$4 \le 4 + \sin^2 \alpha \le 5$

Наименьшее значение выражения равно 4 (достигается, когда $\sin \alpha = 0$).

Наибольшее значение выражения равно 5 (достигается, когда $\sin \alpha = \pm 1$).

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшее значение 5.

3) $\frac{\sin \alpha(3 - \cos \alpha)}{\sin \alpha}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin \alpha \ne 0$.

При выполнении этого условия мы можем сократить дробь на $\sin \alpha$:

$\frac{\sin \alpha(3 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} = 3 - \cos \alpha$

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3 - \cos \alpha$ с учётом ограничения $\sin \alpha \ne 0$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ известно, что $\sin \alpha = 0$ тогда и только тогда, когда $\cos \alpha = 1$ или $\cos \alpha = -1$.

Следовательно, наше ограничение $\sin \alpha \ne 0$ означает, что $\cos \alpha \ne 1$ и $\cos \alpha \ne -1$.

Таким образом, значения $\cos \alpha$ находятся в интервале $ -1 < \cos \alpha < 1 $.

Проведём преобразования с этим строгим неравенством. Умножим на -1:

$1 > -\cos \alpha > -1$

Прибавим 3 ко всем частям:

$3 + 1 > 3 - \cos \alpha > 3 - 1$

$4 > 3 - \cos \alpha > 2$

Множеством значений исходного выражения является интервал $(2, 4)$. Поскольку концы интервала не включаются, выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к 2 и 4, но никогда не достигает этих значений. Следовательно, у выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.

153. При каких значениях a возможно равенство:

1) $ \sin x = a - 3; $

2) $ \cos x = a^2 + 7a + 11? $

1) sin x = a - 3;

Известно, что область значений функции синус $ \sin x $ находится в пределах от -1 до 1 включительно, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $.

Следовательно, для того чтобы данное равенство было возможно, необходимо, чтобы выражение $ a - 3 $ принадлежало этому промежутку:

$ -1 \le a - 3 \le 1 $

Чтобы найти допустимые значения $ a $, прибавим 3 ко всем частям этого двойного неравенства:

$ -1 + 3 \le a - 3 + 3 \le 1 + 3 $

$ 2 \le a \le 4 $

Таким образом, равенство возможно при значениях $ a $, принадлежащих отрезку $ [2; 4] $.

Ответ: $ a \in [2; 4] $.

2) cos x = a² + 7a + 11?

Аналогично, область значений функции косинус $ \cos x $ также находится в пределах от -1 до 1 включительно: $ -1 \le \cos x \le 1 $.

Следовательно, выражение $ a^2 + 7a + 11 $ должно удовлетворять двойному неравенству:

$ -1 \le a^2 + 7a + 11 \le 1 $

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} a^2 + 7a + 11 \ge -1 \\ a^2 + 7a + 11 \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$ a^2 + 7a + 11 \ge -1 $

$ a^2 + 7a + 12 \ge 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ a^2 + 7a + 12 = 0 $. Используя теорему Виета, находим корни: $ a_1 = -4 $ и $ a_2 = -3 $. Графиком функции $ y = a^2 + 7a + 12 $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $ y \ge 0 $ выполняется при значениях $ a $ вне интервала между корнями, то есть при $ a \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty) $.

Теперь решим второе неравенство системы:

$ a^2 + 7a + 11 \le 1 $

$ a^2 + 7a + 10 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ a^2 + 7a + 10 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ a_1 = -5 $ и $ a_2 = -2 $. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $ y \le 0 $ выполняется при значениях $ a $ между корнями, включая их: $ a \in [-5; -2] $.

Для нахождения итогового решения необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств:

$ a \in ((-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)) \cap [-5; -2] $

Анализируя числовую прямую, находим, что пересечением является объединение двух отрезков: $ [-5; -4] $ и $ [-3; -2] $.

Ответ: $ a \in [-5; -4] \cup [-3; -2] $.

154. Найдите область значений выражения:

1) $\frac{1}{2 - \sin 3x}$;

2) $2 - 3|\cos 5x|$;

3) $\frac{1}{1 + \cos 2x}$;

4) $\text{tg}^2 x + 2.$

1) Для нахождения области значений выражения $ \frac{1}{2 - \sin 3x} $ сначала определим область значений знаменателя. Область значений функции синус от любого аргумента — это отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, $ -1 \le \sin 3x \le 1 $.
Далее выполним преобразования:
1. Умножим неравенство на $-1$, изменив знаки на противоположные: $ 1 \ge -\sin 3x \ge -1 $.
2. Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $ 2+1 \ge 2 - \sin 3x \ge 2-1 $, что равносильно $ 3 \ge 2 - \sin 3x \ge 1 $.
Итак, знаменатель $ 2 - \sin 3x $ принимает значения в отрезке $ [1, 3] $.
Поскольку знаменатель всегда положителен, мы можем найти область значений дроби. Функция $ y = \frac{1}{t} $ является убывающей при $ t > 0 $.
Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении знаменателя: $ \frac{1}{1} = 1 $.
Наименьшее значение дроби достигается при наибольшем значении знаменателя: $ \frac{1}{3} $.
Следовательно, область значений выражения — это отрезок $ [\frac{1}{3}, 1] $.
Ответ: $ [\frac{1}{3}, 1] $.

2) Для нахождения области значений выражения $ 2 - 3|\cos 5x| $ начнем с области значений косинуса. Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, $ -1 \le \cos 5x \le 1 $.
1. Возьмем модуль от косинуса. Так как $ \cos 5x $ находится в пределах от -1 до 1, его модуль будет находиться в пределах от 0 до 1: $ 0 \le |\cos 5x| \le 1 $.
2. Умножим неравенство на $-3$, изменив знаки на противоположные: $ 0 \cdot (-3) \ge -3|\cos 5x| \ge 1 \cdot (-3) $, что равносильно $ 0 \ge -3|\cos 5x| \ge -3 $.
3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $ 2+0 \ge 2 - 3|\cos 5x| \ge 2-3 $, что равносильно $ 2 \ge 2 - 3|\cos 5x| \ge -1 $.
Следовательно, область значений выражения — это отрезок $ [-1, 2] $.
Ответ: $ [-1, 2] $.

3) Для нахождения области значений выражения $ \frac{1}{1 + \cos 2x} $ сначала определим область значений знаменателя. Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, $ -1 \le \cos 2x \le 1 $.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $ 1-1 \le 1 + \cos 2x \le 1+1 $, что равносильно $ 0 \le 1 + \cos 2x \le 2 $.
Знаменатель $ 1 + \cos 2x $ принимает значения в отрезке $ [0, 2] $.
Выражение не определено, когда знаменатель равен нулю, то есть при $ 1 + \cos 2x = 0 $, или $ \cos 2x = -1 $. Поэтому знаменатель может принимать любые значения из полуинтервала $ (0, 2] $.
Пусть $ t = 1 + \cos 2x $, тогда $ t \in (0, 2] $.
Наименьшее значение выражение $ \frac{1}{t} $ примет при наибольшем значении $ t $, то есть при $ t=2 $. Это значение равно $ \frac{1}{2} $.
Когда значение $ t $ стремится к нулю справа (т.е. $ t \to 0+ $), значение выражения $ \frac{1}{t} $ стремится к $ +\infty $.
Следовательно, область значений выражения — это луч $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.
Ответ: $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.

4) Для нахождения области значений выражения $ \text{tg}^2 x + 2 $ начнем с области значений тангенса. Область значений функции $ \text{tg} x $ — это все действительные числа, то есть $ (-\infty, +\infty) $.
1. Возведем тангенс в квадрат. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. Следовательно, $ \text{tg}^2 x $ принимает значения в промежутке $ [0, +\infty) $.
$ 0 \le \text{tg}^2 x < +\infty $.
2. Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $ 0+2 \le \text{tg}^2 x + 2 < +\infty $, что равносильно $ 2 \le \text{tg}^2 x + 2 < +\infty $.
Следовательно, область значений выражения — это луч $ [2, +\infty) $.
Ответ: $ [2, +\infty) $.

155. Какой знак имеет:

1) $\cos 260^\circ$;

2) $\sin 185^\circ$;

3) $\operatorname{ctg} 310^\circ$;

4) $\operatorname{tg} (-220^\circ)$;

5) $\operatorname{tg} 4$;

6) $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{3}$?

1) cos260°
Чтобы определить знак выражения, нужно найти, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол. Углы четвертей: I (от 0° до 90°), II (от 90° до 180°), III (от 180° до 270°), IV (от 270° до 360°).
Угол $260°$ удовлетворяет неравенству $180° < 260° < 270°$. Следовательно, он находится в III четверти.
В III четверти косинус ($\cos$) имеет отрицательный знак.
Значит, $\cos 260° < 0$.
Ответ: минус (-).

2) sin185°
Угол $185°$ удовлетворяет неравенству $180° < 185° < 270°$. Следовательно, он находится в III четверти.
В III четверти синус ($\sin$) имеет отрицательный знак.
Значит, $\sin 185° < 0$.
Ответ: минус (-).

3) ctg310°
Угол $310°$ удовлетворяет неравенству $270° < 310° < 360°$. Следовательно, он находится в IV четверти.
В IV четверти котангенс ($\ctg$), как и тангенс, имеет отрицательный знак (так как $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, а в IV четверти $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha < 0$).
Значит, $\ctg 310° < 0$.
Ответ: минус (-).

4) tg(-220°)
Тангенс — нечетная функция, поэтому $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$. Значит, $\tg(-220°) = -\tg(220°)$.
Угол $220°$ находится в III четверти ($180° < 220° < 270°$), где тангенс положителен ($\tg 220° > 0$).
Следовательно, $-\tg(220°)$ будет иметь отрицательный знак.
Другой способ: найти положительный угол, соответствующий $-220°$, прибавив $360°$: $-220° + 360° = 140°$. Угол $140°$ находится во II четверти ($90° < 140° < 180°$), где тангенс отрицателен.
Значит, $\tg(-220°) < 0$.
Ответ: минус (-).

5) tg 4
Если в угле не указаны градусы, то он измеряется в радианах. Определим, в какой четверти находится угол в 4 радиана, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Границы четвертей в радианах: I (от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$), II (от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$), III (от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$), IV (от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$).
Поскольку $3,14 < 4 < 4,71$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в III четверти.
В III четверти тангенс ($\tg$) имеет положительный знак.
Значит, $\tg 4 > 0$.
Ответ: плюс (+).

6) ctg $\frac{5\pi}{3}$
Угол дан в радианах. Определим его четверть. Границы четвертей: $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$.
Сравним $\frac{5\pi}{3}$ с границами: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$. Наш угол $\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$.
Удовлетворяется неравенство $\frac{9\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} < \frac{12\pi}{6}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$. Угол находится в IV четверти.
Можно также перевести в градусы: $\frac{5\pi}{3} \text{ рад} = \frac{5 \cdot 180°}{3} = 300°$, что также соответствует IV четверти ($270° < 300° < 360°$).
В IV четверти котангенс ($\ctg$) имеет отрицательный знак.
Значит, $\ctg \frac{5\pi}{3} < 0$.
Ответ: минус (-).