Страница 125 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $5^{\frac{1}{4}}$;

2) $8^{\frac{7}{10}}$;

3) $3^{-\frac{1}{3}}$;

4) $6^{-\frac{4}{11}}$;

5) $(b+c)^{3.5}$;

6) $(2x^2 - 3y^2)^{-\frac{1}{6}}$.

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется основное свойство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $m$ — целое число, и $a > 0$. Если показатель степени отрицательный, используется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) $5^{\frac{1}{4}}$

По определению степени с дробным показателем, где основание $a=5$, числитель показателя $m=1$ и знаменатель $n=4$:
$5^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5^1} = \sqrt[4]{5}$

Ответ: $\sqrt[4]{5}$

2) $8^{\frac{7}{10}}$

Здесь основание $a=8$, числитель показателя $m=7$ и знаменатель $n=10$:
$8^{\frac{7}{10}} = \sqrt[10]{8^7}$

Ответ: $\sqrt[10]{8^7}$

3) $3^{-\frac{1}{3}}$

Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем:
$3^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}}$
Теперь представим знаменатель в виде корня, где $a=3, m=1, n=3$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{3^1}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

4) $6^{-\frac{4}{11}}$

Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$6^{-\frac{4}{11}} = \frac{1}{6^{\frac{4}{11}}}$
Представим знаменатель в виде корня, где $a=6, m=4, n=11$:
$\frac{1}{\sqrt[11]{6^4}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[11]{6^4}}$

5) $(b+c)^{3,5}$

Сначала представим десятичную дробь 3,5 в виде обыкновенной:
$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$
Получаем выражение $(b+c)^{\frac{7}{2}}$.
Теперь преобразуем его в корень, где основание $a=(b+c)$, $m=7, n=2$:
$(b+c)^{\frac{7}{2}} = \sqrt[2]{(b+c)^7} = \sqrt{(b+c)^7}$

Ответ: $\sqrt{(b+c)^7}$

6) $(2x^2-3y^2)^{-1\frac{1}{6}}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{1}{6} = -(1+\frac{1}{6}) = -\frac{7}{6}$
Получаем выражение $(2x^2-3y^2)^{-\frac{7}{6}}$.
Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$(2x^2-3y^2)^{-\frac{7}{6}} = \frac{1}{(2x^2-3y^2)^{\frac{7}{6}}}$
Наконец, представим знаменатель в виде корня, где основание $a=(2x^2-3y^2)$, $m=7, n=6$:
$\frac{1}{\sqrt[6]{(2x^2-3y^2)^7}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{(2x^2-3y^2)^7}}$

111. Замените арифметический корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt[4]{m}$;

2) $\sqrt[6]{a^5}$;

3) $\sqrt[8]{4a}$;

4) $\sqrt[9]{4^{-4}}$;

5) $\sqrt[16]{(m-n)^{13}}$;

6) $\sqrt[16]{m^{13} - n^{13}}$.

1) Для замены арифметического корня степенью с дробным показателем используется формула $ \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}} $. В выражении $ \sqrt[4]{m} $ степень корня $ n=4 $, а показатель степени подкоренного выражения $ k=1 $ (поскольку $ m = m^1 $). Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[4]{m} = m^{\frac{1}{4}} $.
Ответ: $ m^{\frac{1}{4}} $.

2) В выражении $ \sqrt[6]{a^5} $ степень корня $ n=6 $, а показатель степени подкоренного выражения $ k=5 $. По формуле $ \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}} $ получаем: $ \sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}} $.
Ответ: $ a^{\frac{5}{6}} $.

3) В выражении $ \sqrt[8]{4a} $ степень корня $ n=8 $. Подкоренное выражение $ 4a $ можно представить как $ (4a)^1 $, поэтому показатель степени $ k=1 $. Применяя формулу $ \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}} $, где $ x = 4a $, получаем: $ \sqrt[8]{4a} = (4a)^{\frac{1}{8}} $.
Ответ: $ (4a)^{\frac{1}{8}} $.

4) В выражении $ \sqrt[9]{4^{-4}} $ степень корня $ n=9 $, а показатель степени подкоренного выражения $ k=-4 $. По формуле $ \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}} $ получаем: $ \sqrt[9]{4^{-4}} = 4^{\frac{-4}{9}} = 4^{-\frac{4}{9}} $.
Ответ: $ 4^{-\frac{4}{9}} $.

5) В выражении $ \sqrt[16]{(m-n)^{13}} $ степень корня $ n=16 $. Подкоренное выражение — это $ (m-n)^{13} $, где основание степени $ (m-n) $, а показатель $ k=13 $. Применяя формулу $ \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}} $, где $ x = m-n $, получаем: $ \sqrt[16]{(m-n)^{13}} = (m-n)^{\frac{13}{16}} $.
Ответ: $ (m-n)^{\frac{13}{16}} $.

6) В выражении $ \sqrt[16]{m^{13}-n^{13}} $ степень корня $ n=16 $. Подкоренное выражение — это $ m^{13}-n^{13} $. Его можно рассматривать как $ (m^{13}-n^{13})^1 $, поэтому показатель степени $ k=1 $. По формуле $ \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}} $, где $ x = m^{13}-n^{13} $, получаем: $ \sqrt[16]{m^{13}-n^{13}} = (m^{13}-n^{13})^{\frac{1}{16}} $.
Ответ: $ (m^{13}-n^{13})^{\frac{1}{16}} $.

112. Найдите значение выражения:

1) $16^\frac{1}{2}$;

2) $8^{-\frac{2}{3}}$;

3) $0,0016^{-0,5}$;

4) $32^{0,4}$;

5) $\left(11\frac{1}{9}\right)^{2,5}$.

1) Для вычисления значения выражения $16^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $m=1, n=2$.
$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{16^1} = \sqrt{16} = 4$.
Альтернативный способ — представить основание степени в виде квадрата другого числа. Так как $16 = 4^2$, то:
$16^{\frac{1}{2}} = (4^2)^{\frac{1}{2}}$.
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(4^2)^{\frac{1}{2}} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4.

2) Для вычисления $8^{-\frac{2}{3}}$ используем свойства степеней. Сначала представим основание 8 в виде степени числа 2: $8=2^3$.
$8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}}$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2}$.
Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Чтобы найти значение выражения $0,0016^{-0,5}$, преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.
$0,0016 = \frac{16}{10000}$.
$-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{16}{10000})^{-\frac{1}{2}}$.
Используем свойство отрицательной степени для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{16}{10000})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{10000}{16})^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:
$(\frac{10000}{16})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{10000}{16}} = \frac{\sqrt{10000}}{\sqrt{16}} = \frac{100}{4} = 25$.
Ответ: 25.

4) Для вычисления $32^{0,4}$ представим показатель степени в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь выражение выглядит как $32^{\frac{2}{5}}$.
Представим основание 32 в виде степени числа 2: $32 = 2^5$.
$32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4.

5) Чтобы найти значение выражения $(11\frac{1}{9})^{2,5}$, преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.
$11\frac{1}{9} = \frac{11 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{100}{9}$.
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{100}{9})^{\frac{5}{2}}$.
Мы можем представить основание $\frac{100}{9}$ как квадрат дроби $(\frac{10}{3})^2$:
$(\frac{100}{9})^{\frac{5}{2}} = ((\frac{10}{3})^2)^{\frac{5}{2}}$.
По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ перемножаем показатели:
$((\frac{10}{3})^2)^{\frac{5}{2}} = (\frac{10}{3})^{2 \cdot \frac{5}{2}} = (\frac{10}{3})^5$.
Теперь возводим дробь в пятую степень:
$(\frac{10}{3})^5 = \frac{10^5}{3^5} = \frac{100000}{243}$.
Можно выделить целую часть: $100000 \div 243 = 411$ и остаток $127$. Таким образом, результат равен $411\frac{127}{243}$.
Ответ: $\frac{100000}{243}$.

113. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{6}{7}}$;

2) $y = x^{-2,3}$;

3) $y = (3-x)^{2,8}$;

4) $y = \left(\frac{x-8}{x+5}\right)^{3,2}$;

5) $y = (2x^2 - 5x + 2)^{-\frac{1}{6}}$.

114. Упростите выражение:

1) $a^{-0,8} \cdot a^{1,3}$;

2) $a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}};$

3) $(a^{-0,4})^8$;

4) $a^{\frac{5}{8}} \cdot a^{\frac{7}{12}} \cdot a^{-\frac{13}{24}};$

5) $(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}};$

6) $(a^3)^{-0,7} \cdot (a^{-0,4})^{-5} : (a^{-0,5})^8$;

7) $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{8}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$;

8) $\sqrt[4]{a} \cdot a^{\frac{2}{3}};$

9) $\sqrt[5]{a^3} \cdot a^{-\frac{4}{9}};$

10) $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} \cdot (a^{-\frac{5}{6}})^{\frac{10}{3}};$

1) Для упрощения выражения $a^{-0,8} \cdot a^{1,3}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном случае необходимо сложить показатели степеней: $-0,8 + 1,3 = 0,5$.
Таким образом, получаем: $a^{-0,8} \cdot a^{1,3} = a^{-0,8 + 1,3} = a^{0,5}$.
Ответ: $a^{0,5}$.

2) Для упрощения выражения $a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Нужно вычесть показатели степеней: $\frac{7}{9} - \frac{5}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 18: $\frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{14}{18} - \frac{15}{18} = -\frac{1}{18}$.
Таким образом, выражение равно $a^{-\frac{1}{18}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{18}}$.

3) Для упрощения выражения $(a^{-0,4})^8$ используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Нужно перемножить показатели степеней: $-0,4 \cdot 8 = -3,2$.
Таким образом, получаем: $(a^{-0,4})^8 = a^{-3,2}$.
Ответ: $a^{-3,2}$.

4) Для упрощения выражения $a^{\frac{5}{8}} \cdot a^{\frac{7}{12}} \cdot a^{-\frac{13}{24}}$ воспользуемся свойством умножения степеней, сложив их показатели.
$a^{\frac{5}{8} + \frac{7}{12} - \frac{13}{24}}$.
Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 24:
$\frac{5 \cdot 3}{24} + \frac{7 \cdot 2}{24} - \frac{13}{24} = \frac{15 + 14 - 13}{24} = \frac{16}{24}$.
Сократим дробь: $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
Таким образом, выражение равно $a^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$.

5) Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}}$ используем свойства $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(a^{\frac{1}{3}})^{\frac{6}{11}} \cdot (b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{11}} \cdot b^{\frac{4}{15} \cdot \frac{6}{11}}$.
Вычислим показатель для $a$: $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11}$.
Вычислим показатель для $b$: $\frac{4}{15} \cdot \frac{6}{11} = \frac{24}{165} = \frac{8}{55}$.
Таким образом, получаем $a^{\frac{2}{11}}b^{\frac{8}{55}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{11}}b^{\frac{8}{55}}$.

6) Упростим выражение $(a^3)^{-0,7} \cdot (a^{-0,4})^{-5} : (a^{-0,5})^8$ по шагам.
Сначала упростим каждый член, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(a^3)^{-0,7} = a^{3 \cdot (-0,7)} = a^{-2,1}$.
$(a^{-0,4})^{-5} = a^{-0,4 \cdot (-5)} = a^{2}$.
$(a^{-0,5})^8 = a^{-0,5 \cdot 8} = a^{-4}$.
Теперь объединим результаты: $a^{-2,1} \cdot a^{2} : a^{-4} = a^{-2,1 + 2 - (-4)} = a^{-0,1 + 4} = a^{3,9}$.
Ответ: $a^{3,9}$.

7) Упростим дробь $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{8}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$.
Сначала упростим числитель и знаменатель, сложив показатели степеней.
Числитель: $x^{\frac{1}{6} + \frac{3}{4}} = x^{\frac{2}{12} + \frac{9}{12}} = x^{\frac{11}{12}}$.
Знаменатель: $x^{\frac{8}{9} + \frac{1}{12}} = x^{\frac{32}{36} + \frac{3}{36}} = x^{\frac{35}{36}}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели: $x^{\frac{11}{12} - \frac{35}{36}} = x^{\frac{33}{36} - \frac{35}{36}} = x^{-\frac{2}{36}} = x^{-\frac{1}{18}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{18}}$.

8) Упростим выражение $\sqrt[4]{a} \cdot a^{\frac{2}{3}}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.
Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{2}{3}}$.
Сложим показатели: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$.
Результат: $a^{\frac{11}{12}}$.
Ответ: $a^{\frac{11}{12}}$.

9) Упростим выражение $\sqrt[5]{a^3} \cdot a^{-\frac{4}{9}}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}$.
Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{3}{5}} \cdot a^{-\frac{4}{9}}$.
Сложим показатели: $\frac{3}{5} - \frac{4}{9} = \frac{27}{45} - \frac{20}{45} = \frac{7}{45}$.
Результат: $a^{\frac{7}{45}}$.
Ответ: $a^{\frac{7}{45}}$.

10) Упростим выражение $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} \cdot (a^{-\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}}$ по частям.
Первый множитель: $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} = (a^{-\frac{2}{3}})^{\frac{3}{8}} = a^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}} = a^{-\frac{6}{24}} = a^{-\frac{1}{4}}$.
Второй множитель: $(a^{-\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}} = a^{-\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{-\frac{15}{60}} = a^{-\frac{1}{4}}$.
Перемножим полученные степени: $a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = a^{-\frac{2}{4}} = a^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$.

115. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте выражение в виде:

а) квадрата;

б) куба;

в) восьмой степени:

1) $a^{16}$;

2) $a^{-12}$;

3) $a^{\frac{1}{5}}$;

4) $a^{2,4}$;

5) $a^{-2\frac{1}{6}}$.

Для представления выражения $a^p$ в виде n-ой степени, мы используем свойство степени $(a^k)^n = a^{k \cdot n}$. Отсюда следует, что показатель степени $k$ должен быть равен $p/n$. Таким образом, $a^p = (a^{p/n})^n$.

1) $a^{16}$

а) Чтобы представить в виде квадрата (n=2), показатель степени нового основания будет $16/2 = 8$.
Ответ: $(a^8)^2$.

б) Чтобы представить в виде куба (n=3), показатель степени нового основания будет $16/3$.
Ответ: $(a^{16/3})^3$.

в) Чтобы представить в виде восьмой степени (n=8), показатель степени нового основания будет $16/8 = 2$.
Ответ: $(a^2)^8$.

2) $a^{-12}$

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $-12/2 = -6$.
Ответ: $(a^{-6})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $-12/3 = -4$.
Ответ: $(a^{-4})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $-12/8 = -3/2 = -1.5$.
Ответ: $(a^{-3/2})^8$.

3) $a^{\frac{1}{5}}$

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $\frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{10}$.
Ответ: $(a^{1/10})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $\frac{1}{5} \div 3 = \frac{1}{15}$.
Ответ: $(a^{1/15})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $\frac{1}{5} \div 8 = \frac{1}{40}$.
Ответ: $(a^{1/40})^8$.

4) $a^{2.4}$

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $2.4 / 2 = 1.2$.
Ответ: $(a^{1.2})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $2.4 / 3 = 0.8$.
Ответ: $(a^{0.8})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $2.4 / 8 = 0.3$.
Ответ: $(a^{0.3})^8$.

5) $a^{-2\frac{1}{6}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{6} = -\frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = -\frac{13}{6}$. Таким образом, мы работаем с выражением $a^{-13/6}$.

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $-\frac{13}{6} \div 2 = -\frac{13}{12}$.
Ответ: $(a^{-13/12})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $-\frac{13}{6} \div 3 = -\frac{13}{18}$.
Ответ: $(a^{-13/18})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $-\frac{13}{6} \div 8 = -\frac{13}{48}$.
Ответ: $(a^{-13/48})^8$.