Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Представьте выражение $\sqrt[4]{a}$ в виде корня:

1) восьмой степени;

2) шестнадцатой степени;

3) шестидесятой степени.

Для того чтобы представить корень в виде корня другой степени, используется основное свойство корня: показатель корня и показатель степени подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число. Значение корня при этом не изменится.

Математически это свойство выглядит так: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}$, где $a \ge 0$, а $n, m, k$ - натуральные числа.

В нашем случае дано выражение $\sqrt[4]{a}$, которое можно записать как $\sqrt[4]{a^1}$.

1) восьмой степени

Требуется представить $\sqrt[4]{a}$ в виде корня восьмой степени. Для этого нам нужно найти число $k$, на которое нужно умножить исходный показатель корня (4), чтобы получить 8. $4 \cdot k = 8 \implies k = 2$.

Теперь умножим и показатель корня, и показатель степени подкоренного выражения на $k=2$: $\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[8]{a^2}$.

Ответ: $\sqrt[8]{a^2}$

2) шестнадцатой степени

Требуется представить $\sqrt[4]{a}$ в виде корня шестнадцатой степени. Найдем число $k$, на которое нужно умножить исходный показатель корня (4), чтобы получить 16. $4 \cdot k = 16 \implies k = 4$.

Умножим и показатель корня, и показатель степени подкоренного выражения на $k=4$: $\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 4]{a^{1 \cdot 4}} = \sqrt[16]{a^4}$.

Ответ: $\sqrt[16]{a^4}$

3) шестидесятой степени

Требуется представить $\sqrt[4]{a}$ в виде корня шестидесятой степени. Найдем число $k$, на которое нужно умножить исходный показатель корня (4), чтобы получить 60. $4 \cdot k = 60 \implies k = 15$.

Умножим и показатель корня, и показатель степени подкоренного выражения на $k=15$: $\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 15]{a^{1 \cdot 15}} = \sqrt[60]{a^{15}}$.

Ответ: $\sqrt[60]{a^{15}}$

91. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{24}$;

2) $\sqrt[5]{160}$;

3) $\sqrt[4]{243}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt[3]{24}$, необходимо разложить подкоренное выражение (24) на множители таким образом, чтобы один из них был точным кубом. Разложим 24 на множители: $24 = 8 \cdot 3$. Число 8 является кубом числа 2, то есть $8 = 2^3$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3}$
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, разделим корень на два:
$\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2 \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$
Ответ: $2\sqrt[3]{3}$

2) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt[5]{160}$, разложим число 160 на множители так, чтобы один из них представлял собой число в пятой степени. Разложим 160 на множители: $160 = 32 \cdot 5$. Число 32 является пятой степенью числа 2, то есть $32 = 2^5$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[5]{160} = \sqrt[5]{32 \cdot 5} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5}$
Применим свойство корня произведения:
$\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{5} = 2 \cdot \sqrt[5]{5} = 2\sqrt[5]{5}$
Ответ: $2\sqrt[5]{5}$

3) Чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt[4]{243}$, разложим число 243 на множители, один из которых будет точной четвертой степенью. Разложим 243 на множители: $243 = 81 \cdot 3$. Число 81 является четвертой степенью числа 3, то есть $81 = 3^4$.
Подставим разложение в исходное выражение:
$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 3}$
Используем свойство корня произведения:
$\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 3 \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$
Ответ: $3\sqrt[4]{3}$

92. Внесите множитель под знак корня:

1) $3\sqrt{5}$;

2) $3\sqrt[3]{4}$;

3) $10\sqrt[4]{0,789}$;

4) $0,1\sqrt[5]{1230}$;

5) $\frac{2}{5}\sqrt[3]{500}.$

Чтобы внести положительный множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и записать результат под знаком корня в качестве множителя.

1) $3\sqrt{5}$

Множитель 3 вносим под знак квадратного корня (корень 2-й степени). Для этого возводим 3 в квадрат и умножаем на подкоренное выражение:

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$

Ответ: $\sqrt{45}$

2) $3\sqrt[3]{4}$

Множитель 3 вносим под знак кубического корня (корень 3-й степени). Для этого возводим 3 в куб и умножаем на подкоренное выражение:

$3\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{108}$

Ответ: $\sqrt[3]{108}$

3) $10\sqrt[4]{0,789}$

Множитель 10 вносим под знак корня 4-й степени. Для этого возводим 10 в 4-ю степень и умножаем на подкоренное выражение:

$10\sqrt[4]{0,789} = \sqrt[4]{10^4 \cdot 0,789} = \sqrt[4]{10000 \cdot 0,789} = \sqrt[4]{7890}$

Ответ: $\sqrt[4]{7890}$

4) $0,1\sqrt[5]{1230}$

Множитель 0,1 вносим под знак корня 5-й степени. Для этого возводим 0,1 в 5-ю степень и умножаем на подкоренное выражение:

$0,1\sqrt[5]{1230} = \sqrt[5]{(0,1)^5 \cdot 1230} = \sqrt[5]{0,00001 \cdot 1230} = \sqrt[5]{0,0123}$

Ответ: $\sqrt[5]{0,0123}$

5) $\frac{2}{5}\sqrt[3]{500}$

Множитель $\frac{2}{5}$ вносим под знак кубического корня (корень 3-й степени). Для этого возводим дробь $\frac{2}{5}$ в куб и умножаем на подкоренное выражение:

$\frac{2}{5}\sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^3 \cdot 500} = \sqrt[3]{\frac{8}{125} \cdot 500} = \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 500}{125}}$

Сокращаем 500 и 125 на 125:

$\sqrt[3]{8 \cdot 4} = \sqrt[3]{32}$

Ответ: $\sqrt[3]{32}$

93. Упростите выражение:

1) $\sqrt[5]{a} + 8\sqrt[5]{a} - 5\sqrt[5]{a};$

2) $4\sqrt[7]{-8} - \sqrt[7]{-7} - 8\sqrt[7]{8} + 9\sqrt[7]{7}.$

1)

Данное выражение состоит из подобных слагаемых, так как все они содержат один и тот же корень $\sqrt[5]{a}$. Для упрощения выражения необходимо сложить коэффициенты, стоящие перед корнями.

Вынесем общий множитель $\sqrt[5]{a}$ за скобки:

$\sqrt[5]{a} + 8\sqrt[5]{a} - 5\sqrt[5]{a} = (1 + 8 - 5)\sqrt[5]{a}$

Вычислим сумму коэффициентов в скобках:

$1 + 8 - 5 = 9 - 5 = 4$

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$4\sqrt[5]{a}$

Ответ: $4\sqrt[5]{a}$

2)

Для упрощения данного выражения сначала преобразуем корни с отрицательными подкоренными выражениями. Так как степень корня (7) является нечетным числом, знак минуса можно вынести из-под корня, используя свойство $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$ для нечетного $n$.

$\sqrt[7]{-8} = -\sqrt[7]{8}$

$\sqrt[7]{-7} = -\sqrt[7]{7}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$4\sqrt[7]{-8} - \sqrt[7]{-7} - 8\sqrt[7]{8} + 9\sqrt[7]{7} = 4(-\sqrt[7]{8}) - (-\sqrt[7]{7}) - 8\sqrt[7]{8} + 9\sqrt[7]{7}$

Раскроем скобки:

$-4\sqrt[7]{8} + \sqrt[7]{7} - 8\sqrt[7]{8} + 9\sqrt[7]{7}$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $\sqrt[7]{8}$ и слагаемые с $\sqrt[7]{7}$ являются подобными.

$(-4\sqrt[7]{8} - 8\sqrt[7]{8}) + (\sqrt[7]{7} + 9\sqrt[7]{7})$

Сложим коэффициенты у подобных слагаемых:

$(-4 - 8)\sqrt[7]{8} + (1 + 9)\sqrt[7]{7} = -12\sqrt[7]{8} + 10\sqrt[7]{7}$

Поменяем слагаемые местами для удобства:

$10\sqrt[7]{7} - 12\sqrt[7]{8}$

Ответ: $10\sqrt[7]{7} - 12\sqrt[7]{8}$

94. Упростите выражение:

1) $7\sqrt[3]{-250} - 2\sqrt[3]{54} + 8\sqrt[3]{432};$

2) $4\sqrt[4]{96k} + 5\sqrt[4]{243k} - 3\sqrt[4]{486k} - 6\sqrt[4]{48k}.$

Чтобы упростить выражение $7\sqrt[3]{-250} - 2\sqrt[3]{54} + 8\sqrt[3]{432}$, необходимо вынести множители из-под знака каждого кубического корня.

1. Упростим первый член $7\sqrt[3]{-250}$.
Поскольку корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, можно вынести минус из-под корня: $\sqrt[3]{-250} = -\sqrt[3]{250}$.
Разложим число 250 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $250 = 125 \times 2 = 5^3 \times 2$.
Тогда $\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \times 2} = 5\sqrt[3]{2}$.
Следовательно, $7\sqrt[3]{-250} = 7 \times (-5\sqrt[3]{2}) = -35\sqrt[3]{2}$.

2. Упростим второй член $-2\sqrt[3]{54}$.
Разложим число 54 на множители: $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$.
Тогда $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Следовательно, $-2\sqrt[3]{54} = -2 \times (3\sqrt[3]{2}) = -6\sqrt[3]{2}$.

3. Упростим третий член $8\sqrt[3]{432}$.
Разложим число 432 на множители: $432 = 216 \times 2 = 6^3 \times 2$.
Тогда $\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{6^3 \times 2} = 6\sqrt[3]{2}$.
Следовательно, $8\sqrt[3]{432} = 8 \times (6\sqrt[3]{2}) = 48\sqrt[3]{2}$.

4. Теперь сложим полученные выражения, так как они имеют одинаковый радикал $\sqrt[3]{2}$:
$-35\sqrt[3]{2} - 6\sqrt[3]{2} + 48\sqrt[3]{2} = (-35 - 6 + 48)\sqrt[3]{2} = (-41 + 48)\sqrt[3]{2} = 7\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $7\sqrt[3]{2}$

Упростим выражение $4\sqrt[4]{96k} + 5\sqrt[4]{243k} - 3\sqrt[4]{486k} - 6\sqrt[4]{48k}$, вынеся множители из-под знака корня четвертой степени для каждого слагаемого. Предполагается, что $k \ge 0$, чтобы выражение имело смысл.

1. Упростим первый член $4\sqrt[4]{96k}$.
Разложим число 96 на множители: $96 = 16 \times 6 = 2^4 \times 6$.
Тогда $\sqrt[4]{96k} = \sqrt[4]{2^4 \times 6k} = 2\sqrt[4]{6k}$.
Следовательно, $4\sqrt[4]{96k} = 4 \times 2\sqrt[4]{6k} = 8\sqrt[4]{6k}$.

2. Упростим второй член $5\sqrt[4]{243k}$.
Разложим число 243 на множители: $243 = 81 \times 3 = 3^4 \times 3$.
Тогда $\sqrt[4]{243k} = \sqrt[4]{3^4 \times 3k} = 3\sqrt[4]{3k}$.
Следовательно, $5\sqrt[4]{243k} = 5 \times 3\sqrt[4]{3k} = 15\sqrt[4]{3k}$.

3. Упростим третий член $-3\sqrt[4]{486k}$.
Разложим число 486 на множители: $486 = 81 \times 6 = 3^4 \times 6$.
Тогда $\sqrt[4]{486k} = \sqrt[4]{3^4 \times 6k} = 3\sqrt[4]{6k}$.
Следовательно, $-3\sqrt[4]{486k} = -3 \times 3\sqrt[4]{6k} = -9\sqrt[4]{6k}$.

4. Упростим четвертый член $-6\sqrt[4]{48k}$.
Разложим число 48 на множители: $48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3$.
Тогда $\sqrt[4]{48k} = \sqrt[4]{2^4 \times 3k} = 2\sqrt[4]{3k}$.
Следовательно, $-6\sqrt[4]{48k} = -6 \times 2\sqrt[4]{3k} = -12\sqrt[4]{3k}$.

5. Теперь сложим и сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми радикалами):
$8\sqrt[4]{6k} + 15\sqrt[4]{3k} - 9\sqrt[4]{6k} - 12\sqrt[4]{3k} = (8\sqrt[4]{6k} - 9\sqrt[4]{6k}) + (15\sqrt[4]{3k} - 12\sqrt[4]{3k})$
$= (8 - 9)\sqrt[4]{6k} + (15 - 12)\sqrt[4]{3k}$
$= -\sqrt[4]{6k} + 3\sqrt[4]{3k}$.

Ответ: $3\sqrt[4]{3k} - \sqrt[4]{6k}$

95. Упростите выражение:

1) $\sqrt{5\sqrt[4]{2}}$;

2) $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$;

3) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$;

4) $\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a^7}}$.

1) $\sqrt{5\sqrt[4]{2}}$

Чтобы упростить это выражение, нужно внести множитель 5, стоящий под внешним квадратным корнем, под знак внутреннего корня четвертой степени. Для этого возведем 5 в степень 4:

$\sqrt{5\sqrt[4]{2}} = \sqrt{\sqrt[4]{5^4 \cdot 2}}$

Вычислим $5^4$: $5^4 = 625$.

$\sqrt{\sqrt[4]{625 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[4]{1250}}$

Далее используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$. В данном случае показатель внешнего корня $n=2$, а внутреннего $m=4$.

$\sqrt[2 \cdot 4]{1250} = \sqrt[8]{1250}$

Ответ: $\sqrt[8]{1250}$

2) $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$

Внесем множитель $b$ под знак внутреннего корня четвертой степени. Для этого возведем $b$ в 4-ю степень.

$\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^4 \cdot b}}$

Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим выражение под внутренним корнем:

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^{4+1}}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^5}}$

Теперь применим свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[3 \cdot 4]{b^5} = \sqrt[12]{b^5}$

Ответ: $\sqrt[12]{b^5}$

3) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$

Внесем множитель $p$ под знак внутреннего корня пятой степени, возведя $p$ в 5-ю степень.

$\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^5 \cdot p}}$

Упростим подкоренное выражение:

$\sqrt[6]{\sqrt[5]{p^{5+1}}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^6}}$

Применим свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[6 \cdot 5]{p^6} = \sqrt[30]{p^6}$

Полученное выражение можно упростить, разделив показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель, равный 6.

$\sqrt[30/6]{p^{6/6}} = \sqrt[5]{p}$

Ответ: $\sqrt[5]{p}$

4) $\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a^7}}$

Внесем множитель $a^3$ под знак внутреннего корня третьей степени. Для этого возведем $a^3$ в 3-ю степень.

$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$

$\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a^7}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{(a^3)^3 \cdot a^7}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^9 \cdot a^7}}$

Упростим выражение под внутренним корнем:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{9+7}}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{16}}}$

Применим свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[4 \cdot 3]{a^{16}} = \sqrt[12]{a^{16}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 4.

$\sqrt[12/4]{a^{16/4}} = \sqrt[3]{a^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$

96. Представьте в виде корня выражение:

1) $\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[4]{2};$

2) $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[6]{y}$

3) $\frac{\sqrt[8]{x^5}}{\sqrt[4]{y^3}};$

4) $\frac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{20}};$

5) $\sqrt[5]{x \sqrt[6]{x} \cdot \sqrt[6]{x^5}}.$

1) Чтобы перемножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 5 и 4 равно 20.

Приведем каждый корень к показателю 20, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}$:

$\sqrt[5]{2} = \sqrt[5 \cdot 4]{2^{1 \cdot 4}} = \sqrt[20]{2^4}$

$\sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 5]{2^{1 \cdot 5}} = \sqrt[20]{2^5}$

Теперь выполним умножение, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[20]{2^4} \cdot \sqrt[20]{2^5} = \sqrt[20]{2^4 \cdot 2^5}$

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$\sqrt[20]{2^{4+5}} = \sqrt[20]{2^9}$

Вычислим $2^9 = 512$.

Ответ: $\sqrt[20]{512}$.

2) Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[4]{x} = \sqrt[4 \cdot 3]{x^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{x^3}$

$\sqrt[6]{y} = \sqrt[6 \cdot 2]{y^{1 \cdot 2}} = \sqrt[12]{y^2}$

Перемножим полученные выражения:

$\sqrt[12]{x^3} \cdot \sqrt[12]{y^2} = \sqrt[12]{x^3 y^2}$

Ответ: $\sqrt[12]{x^3 y^2}$.

3) Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 8 и 4 равно 8.

Корень в числителе уже имеет показатель 8: $\sqrt[8]{x^5}$.

Приведем корень в знаменателе к показателю 8:

$\sqrt[4]{y^3} = \sqrt[4 \cdot 2]{(y^3)^2} = \sqrt[8]{y^{3 \cdot 2}} = \sqrt[8]{y^6}$

Теперь выполним деление, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[8]{x^5}}{\sqrt[8]{y^6}} = \sqrt[8]{\frac{x^5}{y^6}}$

Ответ: $\sqrt[8]{\frac{x^5}{y^6}}$.

4) Приведем все три корня к общему показателю. НОК для показателей 3, 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 4]{4^4} = \sqrt[12]{256}$

$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$

$\sqrt[6]{20} = \sqrt[6 \cdot 2]{20^2} = \sqrt[12]{400}$

Подставим полученные выражения в исходное:

$\frac{\sqrt[12]{256} \cdot \sqrt[12]{125}}{\sqrt[12]{400}} = \sqrt[12]{\frac{256 \cdot 125}{400}}$

Упростим выражение под корнем. Разложим числа на простые множители:

$256 = 2^8$

$125 = 5^3$

$400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2$

Теперь упростим дробь:

$\frac{256 \cdot 125}{400} = \frac{2^8 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 5^2} = 2^{8-4} \cdot 5^{3-2} = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80$

Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt[12]{80}$.

Ответ: $\sqrt[12]{80}$.

5) Сначала упростим первый множитель $\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x}}$.

Внесем $x$ под внутренний корень, возведя его в степень 6:

$x\sqrt[6]{x} = \sqrt[6]{x^6 \cdot x} = \sqrt[6]{x^7}$

Теперь первый множитель имеет вид:

$\sqrt[5]{\sqrt[6]{x^7}} = \sqrt[5 \cdot 6]{x^7} = \sqrt[30]{x^7}$

Исходное выражение принимает вид:

$\sqrt[30]{x^7} \cdot \sqrt[6]{x^5}$

Приведем корни к общему показателю 30 (НОК(30, 6) = 30):

$\sqrt[6]{x^5} = \sqrt[6 \cdot 5]{(x^5)^5} = \sqrt[30]{x^{25}}$

Перемножим корни:

$\sqrt[30]{x^7} \cdot \sqrt[30]{x^{25}} = \sqrt[30]{x^7 \cdot x^{25}} = \sqrt[30]{x^{7+25}} = \sqrt[30]{x^{32}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\sqrt[30]{x^{32}} = \sqrt[30/2]{x^{32/2}} = \sqrt[15]{x^{16}}$

Ответ: $\sqrt[15]{x^{16}}$.

97. Сравните:

1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt[5]{16}$;

2) $\sqrt[18]{19}$ и $\sqrt[12]{7}$;

3) $\sqrt[9]{6}$ и $\sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.

1) Сравнить $\sqrt{3}$ и $\sqrt[5]{16}$.

Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Показатели корней равны 2 (у квадратного корня) и 5. Наименьшее общее кратное (НОК) для 2 и 5 равно 10. Приведем оба корня к показателю 10.

Для первого числа: $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{10}} = \sqrt[10]{3^5}$.

Вычислим подкоренное выражение: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Таким образом, $\sqrt{3} = \sqrt[10]{243}$.

Для второго числа: $\sqrt[5]{16} = 16^{\frac{1}{5}} = 16^{\frac{2}{10}} = \sqrt[10]{16^2}$.

Вычислим подкоренное выражение: $16^2 = 256$.

Таким образом, $\sqrt[5]{16} = \sqrt[10]{256}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[10]{243}$ и $\sqrt[10]{256}$. Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $243 < 256$.

Следовательно, $\sqrt[10]{243} < \sqrt[10]{256}$, а значит, $\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}$.

Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}$.

2) Сравнить $\sqrt[18]{19}$ и $\sqrt[12]{7}$.

Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 18 и 12. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 18 и 12.

$18 = 2 \cdot 3^2$

$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(18, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведем оба корня к показателю 36.

Для первого числа: $\sqrt[18]{19} = 19^{\frac{1}{18}} = 19^{\frac{2}{36}} = \sqrt[36]{19^2}$.

Вычислим подкоренное выражение: $19^2 = 361$.

Таким образом, $\sqrt[18]{19} = \sqrt[36]{361}$.

Для второго числа: $\sqrt[12]{7} = 7^{\frac{1}{12}} = 7^{\frac{3}{36}} = \sqrt[36]{7^3}$.

Вычислим подкоренное выражение: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Таким образом, $\sqrt[12]{7} = \sqrt[36]{343}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[36]{361}$ и $\sqrt[36]{343}$. Сравниваем подкоренные выражения: $361 > 343$.

Следовательно, $\sqrt[36]{361} > \sqrt[36]{343}$, а значит, $\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}$.

Ответ: $\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}$.

3) Сравнить $\sqrt[9]{6}$ и $\sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.

Сначала упростим второе выражение, внеся множитель под знак корня:

$\sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}} = \sqrt[12]{\sqrt[3]{7^3 \cdot 5}} = \sqrt[12]{\sqrt[3]{343 \cdot 5}} = \sqrt[12]{\sqrt[3]{1715}}$.

Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, получаем:

$\sqrt[12 \cdot 3]{1715} = \sqrt[36]{1715}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt[9]{6}$ и $\sqrt[36]{1715}$.

Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 9 и 36. Наименьшее общее кратное (НОК) для 9 и 36 равно 36. Первый корень приводим к показателю 36:

$\sqrt[9]{6} = 6^{\frac{1}{9}} = 6^{\frac{4}{36}} = \sqrt[36]{6^4}$.

Вычислим подкоренное выражение: $6^4 = (6^2)^2 = 36^2 = 1296$.

Таким образом, $\sqrt[9]{6} = \sqrt[36]{1296}$.

Второе число уже имеет показатель 36: $\sqrt[36]{1715}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[36]{1296}$ и $\sqrt[36]{1715}$. Сравниваем подкоренные выражения: $1296 < 1715$.

Следовательно, $\sqrt[36]{1296} < \sqrt[36]{1715}$, а значит, $\sqrt[9]{6} < \sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.

Ответ: $\sqrt[9]{6} < \sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.

98. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\sqrt[16]{64 - x^2} = \sqrt[16]{8 - x} \cdot \sqrt[16]{8 + x}$;

2) $\sqrt[18]{(x - 1)(x - 6)} = \sqrt[18]{1 - x} \cdot \sqrt[18]{6 - x}$;

3) $\sqrt[15]{(x - 9)(x + 12)} = \sqrt[15]{x - 9} \cdot \sqrt[15]{x + 12}?$

Равенство вида $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ выполняется при определенных условиях, которые зависят от четности показателя корня $n$.

1) $\sqrt[16]{64 - x^2} = \sqrt[16]{8 - x} \cdot \sqrt[16]{8 + x}$

Показатель корня $n=16$ является четным числом. Свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для четного $n$ справедливо только в том случае, когда оба сомножителя $a$ и $b$ неотрицательны. В данном случае левая часть равенства $\sqrt[16]{64 - x^2}$ может быть представлена как $\sqrt[16]{(8 - x)(8 + x)}$. Для того чтобы правая часть равенства была определена и равенство выполнялось, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:
$\begin{cases} 8 - x \ge 0 \\ 8 + x \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему неравенств:
$\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -8 \end{cases}$
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен находиться в промежутке $[-8, 8]$.
Ответ: $x \in [-8, 8]$.

2) $\sqrt[18]{(x - 1)(x - 6)} = \sqrt[18]{1 - x} \cdot \sqrt[18]{6 - x}$

Показатель корня $n=18$ является четным числом. Заметим, что подкоренное выражение в левой части можно преобразовать:
$(x - 1)(x - 6) = (-(1 - x)) \cdot (-(6 - x)) = (1 - x)(6 - x)$.
Таким образом, исходное равенство эквивалентно $\sqrt[18]{(1 - x)(6 - x)} = \sqrt[18]{1 - x} \cdot \sqrt[18]{6 - x}$.
Как и в предыдущем случае, для четного показателя корня равенство выполняется, когда оба множителя под корнями в правой части неотрицательны:
$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим систему:
$\begin{cases} x \le 1 \\ x \le 6 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x \le 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

3) $\sqrt[15]{(x - 9)(x + 12)} = \sqrt[15]{x - 9} \cdot \sqrt[15]{x + 12}$

Показатель корня $n=15$ является нечетным числом. Для нечетного показателя корня свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ является тождеством и выполняется для любых действительных чисел $a$ и $b$, для которых выражения определены.
Подкоренные выражения являются многочленами, которые определены для любых действительных значений $x$. Следовательно, данное равенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

99. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{x^6}$, если $x \ge 0$;

2) $\sqrt[8]{y^8}$, если $y \le 0$;

3) $\sqrt[7]{a^7}$;

4) $\sqrt[3]{125a^9c^{12}}$;

5) $\sqrt[4]{81x^{16}y^{20}z^4}$, если $y \le 0, z \ge 0$;

6) $4,5a^2 \sqrt[6]{64a^{18}}$, если $a \le 0$;

7) $\frac{m^7n^6k^5}{\sqrt[8]{m^8n^{16}k^{40}}}$, если $m > 0, k < 0$;

8) $-0,6x^4 \cdot \sqrt[4]{256x^8y^{28}}$, если $y \le 0$.

1) Так как показатель корня (6) является четным числом, то $\sqrt[6]{x^6} = |x|$. По условию $x \ge 0$, следовательно, $|x| = x$.

Ответ: $x$.

2) Так как показатель корня (8) является четным числом, то $\sqrt[8]{y^8} = |y|$. По условию $y \le 0$, следовательно, $|y| = -y$.

Ответ: $-y$.

3) Так как показатель корня (7) является нечетным числом, то $\sqrt[7]{a^7} = a$ для любого действительного числа $a$.

Ответ: $a$.

4) Используем свойство корня из произведения и свойство степени: $\sqrt[3]{125a^9c^{12}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (c^4)^3} = \sqrt[3]{(5a^3c^4)^3}$. Так как показатель корня нечетный, выражение равно $5a^3c^4$.

Ответ: $5a^3c^4$.

5) Преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt[4]{81x^{16}y^{20}z^4} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (x^4)^4 \cdot (y^5)^4 \cdot z^4}$. Так как корень четной степени, извлекаем модуль каждого множителя: $|3| \cdot |x^4| \cdot |y^5| \cdot |z| = 3x^4|y^5||z|$. Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4|=x^4$. По условию $y \le 0$, значит $y^5 \le 0$ и $|y^5| = -y^5$. По условию $z \ge 0$, значит $|z| = z$. Собираем все вместе: $3 \cdot x^4 \cdot (-y^5) \cdot z = -3x^4y^5z$.

Ответ: $-3x^4y^5z$.

6) Упростим выражение под корнем: $4,5a^2\sqrt[6]{64a^{18}} = 4,5a^2\sqrt[6]{2^6(a^3)^6} = 4,5a^2|2a^3| = 4,5a^2 \cdot 2|a^3| = 9a^2|a^3|$. По условию $a \le 0$, следовательно $a^3 \le 0$, и поэтому $|a^3| = -a^3$. Подставляем и получаем: $9a^2(-a^3) = -9a^5$.

Ответ: $-9a^5$.

7) Упростим знаменатель: $\sqrt[8]{m^8n^{16}k^{40}} = \sqrt[8]{m^8 \cdot (n^2)^8 \cdot (k^5)^8} = |m||n^2||k^5|$. Учитывая условия $m > 0$ и $k < 0$, а также то, что $n^2$ всегда неотрицательно, раскрываем модули: $|m|=m$, $|n^2|=n^2$, $|k^5|=-k^5$. Знаменатель равен $m \cdot n^2 \cdot (-k^5) = -mn^2k^5$. Теперь подставим это в исходную дробь: $\frac{m^7n^6k^5}{-mn^2k^5} = -\frac{m^7}{m} \cdot \frac{n^6}{n^2} \cdot \frac{k^5}{k^5} = -m^{6}n^{4}$.

Ответ: $-m^6n^4$.

8) Упростим выражение под корнем: $\sqrt[4]{256x^8y^{28}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^7)^4} = |4||x^2||y^7|$. Так как $x^2 \ge 0$, то $|x^2|=x^2$. По условию $y \le 0$, значит $y^7 \le 0$, и $|y^7|=-y^7$. Выражение под корнем равно $4x^2(-y^7) = -4x^2y^7$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0,6x^4 \cdot (-4x^2y^7) = 2,4x^{4+2}y^7 = 2,4x^6y^7$.

Ответ: $2,4x^6y^7$.