Номер 96, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Представьте в виде корня выражение:

1) $\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[4]{2};$

2) $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[6]{y}$

3) $\frac{\sqrt[8]{x^5}}{\sqrt[4]{y^3}};$

4) $\frac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{20}};$

5) $\sqrt[5]{x \sqrt[6]{x} \cdot \sqrt[6]{x^5}}.$

1) Чтобы перемножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 5 и 4 равно 20.

Приведем каждый корень к показателю 20, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}$:

$\sqrt[5]{2} = \sqrt[5 \cdot 4]{2^{1 \cdot 4}} = \sqrt[20]{2^4}$

$\sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 5]{2^{1 \cdot 5}} = \sqrt[20]{2^5}$

Теперь выполним умножение, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[20]{2^4} \cdot \sqrt[20]{2^5} = \sqrt[20]{2^4 \cdot 2^5}$

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$\sqrt[20]{2^{4+5}} = \sqrt[20]{2^9}$

Вычислим $2^9 = 512$.

Ответ: $\sqrt[20]{512}$.

2) Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[4]{x} = \sqrt[4 \cdot 3]{x^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{x^3}$

$\sqrt[6]{y} = \sqrt[6 \cdot 2]{y^{1 \cdot 2}} = \sqrt[12]{y^2}$

Перемножим полученные выражения:

$\sqrt[12]{x^3} \cdot \sqrt[12]{y^2} = \sqrt[12]{x^3 y^2}$

Ответ: $\sqrt[12]{x^3 y^2}$.

3) Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 8 и 4 равно 8.

Корень в числителе уже имеет показатель 8: $\sqrt[8]{x^5}$.

Приведем корень в знаменателе к показателю 8:

$\sqrt[4]{y^3} = \sqrt[4 \cdot 2]{(y^3)^2} = \sqrt[8]{y^{3 \cdot 2}} = \sqrt[8]{y^6}$

Теперь выполним деление, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[8]{x^5}}{\sqrt[8]{y^6}} = \sqrt[8]{\frac{x^5}{y^6}}$

Ответ: $\sqrt[8]{\frac{x^5}{y^6}}$.

4) Приведем все три корня к общему показателю. НОК для показателей 3, 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 4]{4^4} = \sqrt[12]{256}$

$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$

$\sqrt[6]{20} = \sqrt[6 \cdot 2]{20^2} = \sqrt[12]{400}$

Подставим полученные выражения в исходное:

$\frac{\sqrt[12]{256} \cdot \sqrt[12]{125}}{\sqrt[12]{400}} = \sqrt[12]{\frac{256 \cdot 125}{400}}$

Упростим выражение под корнем. Разложим числа на простые множители:

$256 = 2^8$

$125 = 5^3$

$400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2$

Теперь упростим дробь:

$\frac{256 \cdot 125}{400} = \frac{2^8 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 5^2} = 2^{8-4} \cdot 5^{3-2} = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80$

Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt[12]{80}$.

Ответ: $\sqrt[12]{80}$.

5) Сначала упростим первый множитель $\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x}}$.

Внесем $x$ под внутренний корень, возведя его в степень 6:

$x\sqrt[6]{x} = \sqrt[6]{x^6 \cdot x} = \sqrt[6]{x^7}$

Теперь первый множитель имеет вид:

$\sqrt[5]{\sqrt[6]{x^7}} = \sqrt[5 \cdot 6]{x^7} = \sqrt[30]{x^7}$

Исходное выражение принимает вид:

$\sqrt[30]{x^7} \cdot \sqrt[6]{x^5}$

Приведем корни к общему показателю 30 (НОК(30, 6) = 30):

$\sqrt[6]{x^5} = \sqrt[6 \cdot 5]{(x^5)^5} = \sqrt[30]{x^{25}}$

Перемножим корни:

$\sqrt[30]{x^7} \cdot \sqrt[30]{x^{25}} = \sqrt[30]{x^7 \cdot x^{25}} = \sqrt[30]{x^{7+25}} = \sqrt[30]{x^{32}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\sqrt[30]{x^{32}} = \sqrt[30/2]{x^{32/2}} = \sqrt[15]{x^{16}}$

Ответ: $\sqrt[15]{x^{16}}$.