Номер 89, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{\sqrt{m}}$;

2) $\sqrt[7]{\sqrt[5]{x}}$;

3) $\sqrt[21]{b^{14}}$;

4) $\sqrt[18]{a^9b^{27}}$;

5) $\frac{\sqrt[8]{m^9n^{15}}}{\sqrt[8]{m^3n^5}}$.

1) Воспользуемся свойством корня из корня: $ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a} $. Показатель внешнего (квадратного) корня равен 2. Таким образом, перемножаем показатели корней: $ 2 \cdot 6 = 12 $. В результате получаем: $ \sqrt{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[2 \cdot 6]{m} = \sqrt[12]{m} $. Ответ: $ \sqrt[12]{m} $

2) Аналогично первому пункту, используем свойство корня из корня $ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a} $. Перемножаем показатели корней: $ 7 \cdot 5 = 35 $. В результате получаем: $ \sqrt[7]{\sqrt[5]{x}} = \sqrt[35]{x} $. Ответ: $ \sqrt[35]{x} $

3) Для упрощения этого выражения можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Наибольший общий делитель для 21 и 14 это 7. Используем свойство $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $. Таким образом, $ \sqrt[21]{b^{14}} = \sqrt[21 \div 7]{b^{14 \div 7}} = \sqrt[3]{b^2} $. Ответ: $ \sqrt[3]{b^2} $

4) Сократим показатель корня (18) и показатели степеней у множителей под корнем (9 и 27) на их наибольший общий делитель, который равен 9. Получаем: $ \sqrt[18]{a^9 b^{27}} = \sqrt[18 \div 9]{a^{9 \div 9} b^{27 \div 9}} = \sqrt[2]{a^1 b^3} = \sqrt{ab^3} $. Можно упростить это выражение дальше, вынеся множитель из-под знака корня: $ \sqrt{ab^3} = \sqrt{a \cdot b^2 \cdot b} = b\sqrt{ab} $ (при условии, что $ a \ge 0, b \ge 0 $). Ответ: $ b\sqrt{ab} $

5) Используем свойство частного корней с одинаковыми показателями $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $. Получаем: $ \frac{\sqrt[8]{m^9 n^{15}}}{\sqrt[8]{m^3 n^5}} = \sqrt[8]{\frac{m^9 n^{15}}{m^3 n^5}} $. Далее упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $: $ \sqrt[8]{m^{9-3}n^{15-5}} = \sqrt[8]{m^6 n^{10}} $. Теперь сократим показатель корня (8) и показатели степеней (6 и 10) на их наибольший общий делитель, который равен 2: $ \sqrt[8 \div 2]{m^{6 \div 2} n^{10 \div 2}} = \sqrt[4]{m^3 n^5} $. Наконец, вынесем множитель из-под знака корня: $ \sqrt[4]{m^3 n^5} = \sqrt[4]{m^3 \cdot n^4 \cdot n} = n\sqrt[4]{m^3 n} $ (при условии, что $ m \ge 0, n \ge 0 $). Ответ: $ n\sqrt[4]{m^3 n} $