Номер 84, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Решите неравенство:

1) $\sqrt[5]{x-4} > 3;$

2) $\sqrt[3]{3x-2} \le 4;$

3) $\sqrt[4]{4x+1} \le 5;$

4) $\sqrt[12]{x^2-8} > \sqrt[12]{7x}.$

1) $\sqrt[5]{x-4} > 3$

Поскольку корень нечетной степени (пятой), область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части неравенства в пятую степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[5]{x-4})^5 > 3^5$

$x - 4 > 243$

$x > 243 + 4$

$x > 247$

Решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(247; +\infty)$

2) $\sqrt[3]{3x-2} \le 4$

Корень нечетной степени (третьей), поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части неравенства в третью степень. Знак неравенства не меняется:

$(\sqrt[3]{3x-2})^3 \le 4^3$

$3x - 2 \le 64$

$3x \le 66$

$x \le \frac{66}{3}$

$x \le 22$

Решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\infty; 22]$

3) $\sqrt[4]{4x+1} \le 5$

Корень четной степени (четвертой), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем ОДЗ:

$4x+1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в четвертую степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[4]{4x+1})^4 \le 5^4$

$4x + 1 \le 625$

$4x \le 624$

$x \le \frac{624}{4}$

$x \le 156$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \le 156 \\ x \ge -\frac{1}{4} \end{cases}$

Получаем $-\frac{1}{4} \le x \le 156$.

Ответ: $[-\frac{1}{4}; 156]$

4) $\sqrt[12]{x^2-8} > \sqrt[12]{7x}$

Корни четной степени (двенадцатой), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 8 \ge 0 \\ 7x \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $x \ge 0$.

Из первого неравенства: $(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) \ge 0$, что равносильно $(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \ge 0$. Решения: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}; +\infty)$.

Пересечение решений системы: $x \ge 2\sqrt{2}$.

ОДЗ: $x \in [2\sqrt{2}; +\infty)$.

На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны. Возведем их в двенадцатую степень:

$(\sqrt[12]{x^2-8})^{12} > (\sqrt[12]{7x})^{12}$

$x^2 - 8 > 7x$

$x^2 - 7x - 8 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x - 8$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 8$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \ge 2\sqrt{2}$:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty) \\ x \ge 2\sqrt{2} \end{cases}$

Так как $2\sqrt{2} \approx 2.828$, то пересечением будет интервал $(8; +\infty)$.

Ответ: $(8; +\infty)$