Номер 82, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Постройте график функции:

1) $y=(\sqrt[9]{4-x})^9$;

2) $y=(\sqrt[10]{x-2})^{10}$.

1) $y = (\sqrt[9]{4-x})^9$
Сначала найдем область определения функции. Корень нечетной степени (в данном случае, 9-й степени) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому выражение $4-x$ может принимать любые значения. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Применяя это свойство к нашей функции, получаем:
$y = 4-x$
Таким образом, исходная функция эквивалентна линейной функции $y = -x + 4$ на всей числовой оси.
Графиком этой функции является прямая линия. Для ее построения найдем две точки, принадлежащие графику. Удобно взять точки пересечения с осями координат:
1. Если $x = 0$, то $y = 4 - 0 = 4$. Точка $(0; 4)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = 4 - x$, откуда $x = 4$. Точка $(4; 0)$.
Соединив эти две точки, получим график функции.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=4-x$.

2) $y = (\sqrt[10]{x-2})^{10}$
Найдем область определения функции. Корень четной степени (в данном случае, 10-й степени) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Поэтому должно выполняться условие:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$.
На этой области определения для любого неотрицательного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Применяя это свойство к нашей функции на ее области определения, получаем:
$y = x-2$
Следовательно, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y=x-2$ при условии $x \ge 2$.
Графиком является луч, выходящий из точки с абсциссой $x=2$.
Найдем координаты начальной точки луча:
1. Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Начальная точка луча — $(2; 0)$.
Найдем еще одну точку на луче, взяв любое значение $x > 2$:
2. Если $x = 4$, то $y = 4 - 2 = 2$. Точка $(4; 2)$.
Проводим луч, начиная с точки $(2; 0)$ и проходящий через точку $(4; 2)$.
Ответ: Графиком функции является луч прямой $y=x-2$ с началом в точке $(2; 0)$.