Номер 83, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} + 2;$

2) $y = \sqrt[4]{x} - 2;$

3) $y = \sqrt[4]{2 - x};$

4) $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2.$

1) $y = \sqrt[4]{x} + 2$

График функции $y = \sqrt[4]{x} + 2$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы вверх.

Область определения функции $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$: так как $\sqrt[4]{x} \ge 0$, то $y = \sqrt[4]{x} + 2 \ge 2$. Таким образом, $E(y) = [2; +\infty)$.

Для построения графика найдем несколько контрольных точек. Сначала возьмем точки для базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$:

• при $x=0$, $y_0=0$ → точка $(0; 0)$
• при $x=1$, $y_0=1$ → точка $(1; 1)$
• при $x=16$, $y_0=2$ → точка $(16; 2)$

Теперь сдвинем эти точки на 2 единицы вверх, чтобы получить точки для искомого графика $y = \sqrt[4]{x} + 2$:

• $(0; 0+2) = (0; 2)$
• $(1; 1+2) = (1; 3)$
• $(16; 2+2) = (16; 4)$

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x} + 2$ — это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, сдвинутый на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Это ветвь, выходящая из точки $(0; 2)$ и возрастающая вправо.

2) $y = \sqrt[4]{x - 2}$

График функции $y = \sqrt[4]{x - 2}$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 2 единицы вправо.

Область определения функции $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Таким образом, $D(y) = [2; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$: корень четвертой степени всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Для построения графика найдем несколько контрольных точек, используя сдвиг точек графика $y_0 = \sqrt[4]{x}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Сдвинем эти точки на 2 единицы вправо:

• $(0+2; 0) = (2; 0)$
• $(1+2; 1) = (3; 1)$
• $(16+2; 2) = (18; 2)$

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x-2}$ — это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Это ветвь, выходящая из точки $(2; 0)$ и возрастающая вправо.

3) $y = \sqrt[4]{2 - x}$

График функции $y = \sqrt[4]{2 - x}$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью двух преобразований. Запишем функцию в виде $y = \sqrt[4]{-(x - 2)}$.

1. Сначала строим график $y_1 = \sqrt[4]{-x}$. Этот график симметричен графику $y_0 = \sqrt[4]{x}$ относительно оси Oy.
2. Затем сдвигаем график $y_1 = \sqrt[4]{-x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить искомый график $y = \sqrt[4]{-(x - 2)}$.

Область определения функции $D(y)$: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2]$.

Область значений функции $E(y)$: $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Найдем контрольные точки. Точки для $y_0 = \sqrt[4]{x}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Точки для $y_1 = \sqrt[4]{-x}$ (симметрия относительно Oy): $(0; 0)$, $(-1; 1)$, $(-16; 2)$. Точки для $y = \sqrt[4]{2 - x}$ (сдвиг вправо на 2):

• $(0+2; 0) = (2; 0)$
• $(-1+2; 1) = (1; 1)$
• $(-16+2; 2) = (-14; 2)$

Соединяем эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{2 - x}$ — это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, отраженный относительно оси Oy и затем сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Это ветвь, выходящая из точки $(2; 0)$ и возрастающая влево.

4) $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$

График функции $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью нескольких преобразований.

1. Начнем с графика $y_0 = \sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$.
2. Построим график $y_1 = \sqrt[4]{|x|}$. Так как функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому мы отражаем часть графика $y_0$ для $x > 0$ симметрично относительно оси Oy.
3. Далее строим график $y_2 = -\sqrt[4]{|x|}$. Он получается из графика $y_1$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.
4. Наконец, сдвигаем график $y_2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$.

Область определения функции $D(y)$: $|x| \ge 0$ для любого $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$: так как $\sqrt[4]{|x|} \ge 0$, то $-\sqrt[4]{|x|} \le 0$, и $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2 \le -2$. Таким образом, $E(y) = (-\infty; -2]$.

Найдем контрольные точки. Точки для $y_0 = \sqrt[4]{x}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Точки для $y_1 = \sqrt[4]{|x|}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$, $(16; 2)$, $(-16; 2)$. Точки для $y_2 = -\sqrt[4]{|x|}$: $(0; 0)$, $(1; -1)$, $(-1; -1)$, $(16; -2)$, $(-16; -2)$. Точки для $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$:

• $(0; 0-2) = (0; -2)$
• $(1; -1-2) = (1; -3)$
• $(-1; -1-2) = (-1; -3)$
• $(16; -2-2) = (16; -4)$
• $(-16; -2-2) = (-16; -4)$

График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, с общей вершиной в точке $(0; -2)$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ ($x \ge 0$) путем симметричного отражения относительно оси Oy, затем симметричного отражения относительно оси Ox и, наконец, сдвигом на 2 единицы вниз. График симметричен относительно оси Oy, имеет вершину в точке $(0; -2)$ и ветви, направленные вниз и в стороны.