Номер 87, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$;

2) $\sqrt[5]{1000} \cdot \sqrt[5]{100}$;

3) $\sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4}$;

4) $\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5}$;

5) $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$;

6) $\frac{\sqrt[3]{6^{10}}}{\sqrt[3]{3^{14} \cdot 6^7}}$;

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$ воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{16 \cdot 4} = \sqrt[6]{64}$.
Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2

2) Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[5]{1000} \cdot \sqrt[5]{100} = \sqrt[5]{1000 \cdot 100} = \sqrt[5]{100000}$.
Так как $10^5 = 100000$, то $\sqrt[5]{100000} = 10$.
Ответ: 10

3) Применим свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{0,054 \cdot 4} = \sqrt[3]{0,216}$.
Так как $0,6^3 = 0,216$, то $\sqrt[3]{0,216} = 0,6$.
Ответ: 0,6

4) Объединим корни, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5} = \sqrt[7]{(7^4 \cdot 2^9) \cdot (7^3 \cdot 2^5)}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[7]{7^{4+3} \cdot 2^{9+5}} = \sqrt[7]{7^7 \cdot 2^{14}}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя, используя свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^n} = a$:
$\sqrt[7]{7^7} \cdot \sqrt[7]{2^{14}} = 7 \cdot \sqrt[7]{(2^2)^7} = 7 \cdot 2^2 = 7 \cdot 4 = 28$.
Ответ: 28

5) Для решения выражения $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$ воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}} = \sqrt[4]{\frac{48}{243}}$.
Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3:
$48 = 16 \cdot 3$
$243 = 81 \cdot 3$
$\sqrt[4]{\frac{16 \cdot 3}{81 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}}$.
Извлечем корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3}$, так как $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Объединим выражение под один корень, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt[3]{6^{10} \cdot 3^5}}{\sqrt[3]{3^{14} \cdot 6^7}} = \sqrt[3]{\frac{6^{10} \cdot 3^5}{3^{14} \cdot 6^7}}$.
Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\sqrt[3]{6^{10-7} \cdot 3^{5-14}} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 3^{-9}}$.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:
$\sqrt[3]{\frac{6^3}{3^9}}$.
Извлечем корень:
$\frac{\sqrt[3]{6^3}}{\sqrt[3]{3^9}} = \frac{6}{3^{9/3}} = \frac{6}{3^3} = \frac{6}{27}$.
Сократим дробь:
$\frac{6}{27} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$