Страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Постройте график функции:

1) $y=(\sqrt[9]{4-x})^9$;

2) $y=(\sqrt[10]{x-2})^{10}$.

1) $y = (\sqrt[9]{4-x})^9$
Сначала найдем область определения функции. Корень нечетной степени (в данном случае, 9-й степени) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому выражение $4-x$ может принимать любые значения. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Применяя это свойство к нашей функции, получаем:
$y = 4-x$
Таким образом, исходная функция эквивалентна линейной функции $y = -x + 4$ на всей числовой оси.
Графиком этой функции является прямая линия. Для ее построения найдем две точки, принадлежащие графику. Удобно взять точки пересечения с осями координат:
1. Если $x = 0$, то $y = 4 - 0 = 4$. Точка $(0; 4)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = 4 - x$, откуда $x = 4$. Точка $(4; 0)$.
Соединив эти две точки, получим график функции.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=4-x$.

2) $y = (\sqrt[10]{x-2})^{10}$
Найдем область определения функции. Корень четной степени (в данном случае, 10-й степени) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Поэтому должно выполняться условие:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$.
На этой области определения для любого неотрицательного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Применяя это свойство к нашей функции на ее области определения, получаем:
$y = x-2$
Следовательно, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y=x-2$ при условии $x \ge 2$.
Графиком является луч, выходящий из точки с абсциссой $x=2$.
Найдем координаты начальной точки луча:
1. Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Начальная точка луча — $(2; 0)$.
Найдем еще одну точку на луче, взяв любое значение $x > 2$:
2. Если $x = 4$, то $y = 4 - 2 = 2$. Точка $(4; 2)$.
Проводим луч, начиная с точки $(2; 0)$ и проходящий через точку $(4; 2)$.
Ответ: Графиком функции является луч прямой $y=x-2$ с началом в точке $(2; 0)$.

83. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} + 2;$

2) $y = \sqrt[4]{x} - 2;$

3) $y = \sqrt[4]{2 - x};$

4) $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2.$

1) $y = \sqrt[4]{x} + 2$

График функции $y = \sqrt[4]{x} + 2$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы вверх.

Область определения функции $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$: так как $\sqrt[4]{x} \ge 0$, то $y = \sqrt[4]{x} + 2 \ge 2$. Таким образом, $E(y) = [2; +\infty)$.

Для построения графика найдем несколько контрольных точек. Сначала возьмем точки для базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$:

• при $x=0$, $y_0=0$ → точка $(0; 0)$
• при $x=1$, $y_0=1$ → точка $(1; 1)$
• при $x=16$, $y_0=2$ → точка $(16; 2)$

Теперь сдвинем эти точки на 2 единицы вверх, чтобы получить точки для искомого графика $y = \sqrt[4]{x} + 2$:

• $(0; 0+2) = (0; 2)$
• $(1; 1+2) = (1; 3)$
• $(16; 2+2) = (16; 4)$

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x} + 2$ — это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, сдвинутый на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Это ветвь, выходящая из точки $(0; 2)$ и возрастающая вправо.

2) $y = \sqrt[4]{x - 2}$

График функции $y = \sqrt[4]{x - 2}$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 2 единицы вправо.

Область определения функции $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Таким образом, $D(y) = [2; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$: корень четвертой степени всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Для построения графика найдем несколько контрольных точек, используя сдвиг точек графика $y_0 = \sqrt[4]{x}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Сдвинем эти точки на 2 единицы вправо:

• $(0+2; 0) = (2; 0)$
• $(1+2; 1) = (3; 1)$
• $(16+2; 2) = (18; 2)$

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x-2}$ — это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Это ветвь, выходящая из точки $(2; 0)$ и возрастающая вправо.

3) $y = \sqrt[4]{2 - x}$

График функции $y = \sqrt[4]{2 - x}$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью двух преобразований. Запишем функцию в виде $y = \sqrt[4]{-(x - 2)}$.

1. Сначала строим график $y_1 = \sqrt[4]{-x}$. Этот график симметричен графику $y_0 = \sqrt[4]{x}$ относительно оси Oy.
2. Затем сдвигаем график $y_1 = \sqrt[4]{-x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить искомый график $y = \sqrt[4]{-(x - 2)}$.

Область определения функции $D(y)$: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2]$.

Область значений функции $E(y)$: $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Найдем контрольные точки. Точки для $y_0 = \sqrt[4]{x}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Точки для $y_1 = \sqrt[4]{-x}$ (симметрия относительно Oy): $(0; 0)$, $(-1; 1)$, $(-16; 2)$. Точки для $y = \sqrt[4]{2 - x}$ (сдвиг вправо на 2):

• $(0+2; 0) = (2; 0)$
• $(-1+2; 1) = (1; 1)$
• $(-16+2; 2) = (-14; 2)$

Соединяем эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{2 - x}$ — это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, отраженный относительно оси Oy и затем сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Это ветвь, выходящая из точки $(2; 0)$ и возрастающая влево.

4) $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$

График функции $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$ можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[4]{x}$ с помощью нескольких преобразований.

1. Начнем с графика $y_0 = \sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$.
2. Построим график $y_1 = \sqrt[4]{|x|}$. Так как функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому мы отражаем часть графика $y_0$ для $x > 0$ симметрично относительно оси Oy.
3. Далее строим график $y_2 = -\sqrt[4]{|x|}$. Он получается из графика $y_1$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.
4. Наконец, сдвигаем график $y_2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$.

Область определения функции $D(y)$: $|x| \ge 0$ для любого $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$: так как $\sqrt[4]{|x|} \ge 0$, то $-\sqrt[4]{|x|} \le 0$, и $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2 \le -2$. Таким образом, $E(y) = (-\infty; -2]$.

Найдем контрольные точки. Точки для $y_0 = \sqrt[4]{x}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Точки для $y_1 = \sqrt[4]{|x|}$: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$, $(16; 2)$, $(-16; 2)$. Точки для $y_2 = -\sqrt[4]{|x|}$: $(0; 0)$, $(1; -1)$, $(-1; -1)$, $(16; -2)$, $(-16; -2)$. Точки для $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$:

• $(0; 0-2) = (0; -2)$
• $(1; -1-2) = (1; -3)$
• $(-1; -1-2) = (-1; -3)$
• $(16; -2-2) = (16; -4)$
• $(-16; -2-2) = (-16; -4)$

График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, с общей вершиной в точке $(0; -2)$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt[4]{|x|} - 2$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ ($x \ge 0$) путем симметричного отражения относительно оси Oy, затем симметричного отражения относительно оси Ox и, наконец, сдвигом на 2 единицы вниз. График симметричен относительно оси Oy, имеет вершину в точке $(0; -2)$ и ветви, направленные вниз и в стороны.

84. Решите неравенство:

1) $\sqrt[5]{x-4} > 3;$

2) $\sqrt[3]{3x-2} \le 4;$

3) $\sqrt[4]{4x+1} \le 5;$

4) $\sqrt[12]{x^2-8} > \sqrt[12]{7x}.$

1) $\sqrt[5]{x-4} > 3$

Поскольку корень нечетной степени (пятой), область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части неравенства в пятую степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[5]{x-4})^5 > 3^5$

$x - 4 > 243$

$x > 243 + 4$

$x > 247$

Решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(247; +\infty)$

2) $\sqrt[3]{3x-2} \le 4$

Корень нечетной степени (третьей), поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части неравенства в третью степень. Знак неравенства не меняется:

$(\sqrt[3]{3x-2})^3 \le 4^3$

$3x - 2 \le 64$

$3x \le 66$

$x \le \frac{66}{3}$

$x \le 22$

Решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\infty; 22]$

3) $\sqrt[4]{4x+1} \le 5$

Корень четной степени (четвертой), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем ОДЗ:

$4x+1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в четвертую степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[4]{4x+1})^4 \le 5^4$

$4x + 1 \le 625$

$4x \le 624$

$x \le \frac{624}{4}$

$x \le 156$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \le 156 \\ x \ge -\frac{1}{4} \end{cases}$

Получаем $-\frac{1}{4} \le x \le 156$.

Ответ: $[-\frac{1}{4}; 156]$

4) $\sqrt[12]{x^2-8} > \sqrt[12]{7x}$

Корни четной степени (двенадцатой), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 8 \ge 0 \\ 7x \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $x \ge 0$.

Из первого неравенства: $(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) \ge 0$, что равносильно $(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \ge 0$. Решения: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}; +\infty)$.

Пересечение решений системы: $x \ge 2\sqrt{2}$.

ОДЗ: $x \in [2\sqrt{2}; +\infty)$.

На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны. Возведем их в двенадцатую степень:

$(\sqrt[12]{x^2-8})^{12} > (\sqrt[12]{7x})^{12}$

$x^2 - 8 > 7x$

$x^2 - 7x - 8 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x - 8$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 8$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \ge 2\sqrt{2}$:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty) \\ x \ge 2\sqrt{2} \end{cases}$

Так как $2\sqrt{2} \approx 2.828$, то пересечением будет интервал $(8; +\infty)$.

Ответ: $(8; +\infty)$

85. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $(a+6)\sqrt[8]{x} = 0;$

2) $\sqrt[8]{a(x-2)} = 0;$

3) $\sqrt[4]{x} = a-7;$

4) $(a-10)\sqrt[8]{x} = a-10;$

5) $ax^{10} = 8;$

6) $x^7 = a-10.$

1) Данное уравнение имеет вид $A \cdot B = 0$, где $A = a+6$ и $B = \sqrt[8]{x}$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Область определения уравнения: $x \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a + 6 = 0$, то есть $a = -6$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого $x$ из области определения, то есть для всех $x \ge 0$.
2. Если $a + 6 \neq 0$, то есть $a \neq -6$. Тогда на $a+6$ можно разделить обе части уравнения. Получим $\sqrt[8]{x} = 0$. Возведя обе части в 8-ю степень, находим $x = 0$. Это значение удовлетворяет области определения.
Ответ: если $a = -6$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \neq -6$, то $x=0$.

2) Область определения уравнения задается условием $a(x-2) \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в 8-ю степень, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt[8]{a(x-2)})^8 = 0^8$
$a(x-2) = 0$
Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot (x-2) = 0$, или $0 = 0$. Это верное равенство для любого действительного числа $x$. Проверка области определения: $0 \cdot (x-2) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$, что верно для любого $x$. Значит, решением является любое действительное число.
2. Если $a \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения $a(x-2) = 0$ на $a$. Получим $x-2 = 0$, откуда $x = 2$. Это значение удовлетворяет области определения при любом $a \neq 0$, так как $a(2-2) = 0 \ge 0$.
Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число; если $a \neq 0$, то $x=2$.

3) Область определения уравнения: $x \ge 0$.
Значение арифметического корня четной степени $\sqrt[4]{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$.
Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$a - 7 \ge 0$, что равносильно $a \ge 7$.
1. Если $a < 7$, то правая часть $a-7$ отрицательна, а левая $\sqrt[4]{x}$ неотрицательна. Равенство невозможно, поэтому уравнение не имеет решений.
2. Если $a \ge 7$, можно возвести обе части уравнения в 4-ю степень:
$(\sqrt[4]{x})^4 = (a-7)^4$
$x = (a-7)^4$.
Так как $(a-7)^4 \ge 0$, условие $x \ge 0$ выполнено.
Ответ: если $a < 7$, то корней нет; если $a \ge 7$, то $x = (a-7)^4$.

4) Область определения уравнения: $x \ge 0$.
Рассмотрим два случая в зависимости от значения выражения $a-10$.
1. Если $a - 10 = 0$, то есть $a = 10$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0=0$. Это равенство верно для всех $x$ из области определения, то есть при $x \ge 0$.
2. Если $a - 10 \neq 0$, то есть $a \neq 10$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a-10$. Получаем $\sqrt[8]{x} = 1$. Возводим обе части в 8-ю степень: $x = 1^8$, откуда $x=1$. Это значение удовлетворяет области определения.
Ответ: если $a = 10$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \neq 10$, то $x=1$.

5) Рассмотрим различные случаи для параметра $a$.
1. Если $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^{10} = 8$, или $0=8$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.
2. Если $a \neq 0$. Выразим $x^{10}$: $x^{10} = \frac{8}{a}$.
Левая часть уравнения $x^{10}$ является четной степенью переменной, поэтому $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $\frac{8}{a} \ge 0$.
Поскольку числитель $8 > 0$, это неравенство выполняется только при $a > 0$.
- Если $a < 0$, то $\frac{8}{a} < 0$, и уравнение не имеет действительных решений.
- Если $a > 0$, то уравнение $x^{10} = \frac{8}{a}$ имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[10]{\frac{8}{a}}$ и $x_2 = -\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.
Ответ: если $a \le 0$, то корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.

6) Уравнение $x^7 = a - 10$ представляет собой уравнение вида $x^n = b$, где степень $n=7$ — нечетное число.
Для любого действительного значения правой части $b = a - 10$ существует единственный действительный корень нечетной степени.
Извлекая корень 7-й степени из обеих частей уравнения, получаем:
$x = \sqrt[7]{a-10}$.
Это решение существует при любом значении параметра $a$.
Ответ: при любом значении $a$ корень $x = \sqrt[7]{a-10}$.

86. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{8 \cdot 125};$

2) $\sqrt[4]{0,0016 \cdot 81};$

3) $\sqrt[5]{32 \cdot 0,00001};$

4) $\sqrt[3]{7^6 \cdot 2^9};$

5) $\sqrt[8]{0,5^8 \cdot 3^{16}};$

6) $\sqrt[6]{\frac{6^{12} \cdot 5^6}{2^{18} \cdot 3^{18}}};$

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{8 \cdot 125}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{8 \cdot 125} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125}$.
Так как $8 = 2^3$ и $125 = 5^3$, то:
$\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} = 2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

2) Для выражения $\sqrt[4]{0,0016 \cdot 81}$ применим то же свойство корня из произведения:
$\sqrt[4]{0,0016 \cdot 81} = \sqrt[4]{0,0016} \cdot \sqrt[4]{81}$.
Представим подкоренные выражения в виде четвёртой степени: $0,0016 = (0,2)^4$ и $81 = 3^4$.
$\sqrt[4]{(0,2)^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 0,2 \cdot 3 = 0,6$.
Ответ: 0,6

3) Найдём значение выражения $\sqrt[5]{32 \cdot 0,00001}$.
$\sqrt[5]{32 \cdot 0,00001} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{0,00001}$.
Представим подкоренные выражения в виде пятой степени: $32 = 2^5$ и $0,00001 = (0,1)^5$.
$\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{(0,1)^5} = 2 \cdot 0,1 = 0,2$.
Ответ: 0,2

4) Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{7^6 \cdot 2^9}$ воспользуемся свойствами корня: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{7^6 \cdot 2^9} = \sqrt[3]{7^6} \cdot \sqrt[3]{2^9}$.
$7^{\frac{6}{3}} \cdot 2^{\frac{9}{3}} = 7^2 \cdot 2^3 = 49 \cdot 8 = 392$.
Ответ: 392

5) Найдём значение выражения $\sqrt[8]{0,5^8 \cdot 3^{16}}$.
$\sqrt[8]{0,5^8 \cdot 3^{16}} = \sqrt[8]{0,5^8} \cdot \sqrt[8]{3^{16}}$.
$0,5^{\frac{8}{8}} \cdot 3^{\frac{16}{8}} = 0,5^1 \cdot 3^2 = 0,5 \cdot 9 = 4,5$.
Ответ: 4,5

6) Найдём значение выражения $\sqrt[6]{\frac{6^{12} \cdot 5^6}{2^{18} \cdot 3^{18}}}$.
Сначала упростим выражение в знаменателе подкоренной дроби, используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ :
$2^{18} \cdot 3^{18} = (2 \cdot 3)^{18} = 6^{18}$.
Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[6]{\frac{6^{12} \cdot 5^6}{6^{18}}}$.
Упростим дробь под корнем, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{6^{12}}{6^{18}} = 6^{12-18} = 6^{-6}$.
Получаем: $\sqrt[6]{6^{-6} \cdot 5^6}$.
Извлечём корень: $\sqrt[6]{6^{-6}} \cdot \sqrt[6]{5^6} = 6^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

87. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$;

2) $\sqrt[5]{1000} \cdot \sqrt[5]{100}$;

3) $\sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4}$;

4) $\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5}$;

5) $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$;

6) $\frac{\sqrt[3]{6^{10}}}{\sqrt[3]{3^{14} \cdot 6^7}}$;

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$ воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{16 \cdot 4} = \sqrt[6]{64}$.
Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2

2) Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[5]{1000} \cdot \sqrt[5]{100} = \sqrt[5]{1000 \cdot 100} = \sqrt[5]{100000}$.
Так как $10^5 = 100000$, то $\sqrt[5]{100000} = 10$.
Ответ: 10

3) Применим свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{0,054 \cdot 4} = \sqrt[3]{0,216}$.
Так как $0,6^3 = 0,216$, то $\sqrt[3]{0,216} = 0,6$.
Ответ: 0,6

4) Объединим корни, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5} = \sqrt[7]{(7^4 \cdot 2^9) \cdot (7^3 \cdot 2^5)}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[7]{7^{4+3} \cdot 2^{9+5}} = \sqrt[7]{7^7 \cdot 2^{14}}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя, используя свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^n} = a$:
$\sqrt[7]{7^7} \cdot \sqrt[7]{2^{14}} = 7 \cdot \sqrt[7]{(2^2)^7} = 7 \cdot 2^2 = 7 \cdot 4 = 28$.
Ответ: 28

5) Для решения выражения $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$ воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}} = \sqrt[4]{\frac{48}{243}}$.
Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3:
$48 = 16 \cdot 3$
$243 = 81 \cdot 3$
$\sqrt[4]{\frac{16 \cdot 3}{81 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}}$.
Извлечем корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3}$, так как $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Объединим выражение под один корень, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt[3]{6^{10} \cdot 3^5}}{\sqrt[3]{3^{14} \cdot 6^7}} = \sqrt[3]{\frac{6^{10} \cdot 3^5}{3^{14} \cdot 6^7}}$.
Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\sqrt[3]{6^{10-7} \cdot 3^{5-14}} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 3^{-9}}$.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:
$\sqrt[3]{\frac{6^3}{3^9}}$.
Извлечем корень:
$\frac{\sqrt[3]{6^3}}{\sqrt[3]{3^9}} = \frac{6}{3^{9/3}} = \frac{6}{3^3} = \frac{6}{27}$.
Сократим дробь:
$\frac{6}{27} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$

88. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{5 - \sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{5 + \sqrt{17}}$;

2) $\sqrt[4]{26 + \sqrt{51}} \cdot \sqrt[4]{26 - \sqrt{51}}$.

1)

Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{5+\sqrt{17}}$ воспользуемся свойством произведения корней одной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{5+\sqrt{17}} = \sqrt[3]{(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}$

Выражение под корнем представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, которое равно разности их квадратов (формула разности квадратов): $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, где $a=5$ и $b=\sqrt{17}$:

$(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17}) = 5^2 - (\sqrt{17})^2 = 25 - 17 = 8$.

Теперь подставим полученное значение обратно под знак кубического корня:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Ответ: 2

2)

Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{26+\sqrt{51}} \cdot \sqrt[4]{26-\sqrt{51}}$ применим то же свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{26+\sqrt{51}} \cdot \sqrt[4]{26-\sqrt{51}} = \sqrt[4]{(26+\sqrt{51})(26-\sqrt{51})}$

Снова воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=26$ и $b=\sqrt{51}$:

$(26+\sqrt{51})(26-\sqrt{51}) = 26^2 - (\sqrt{51})^2$.

Вычислим значения квадратов:

$26^2 = 676$

$(\sqrt{51})^2 = 51$

Теперь найдем их разность:

$676 - 51 = 625$.

Подставим результат под знак корня четвертой степени:

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

Ответ: 5

89. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{\sqrt{m}}$;

2) $\sqrt[7]{\sqrt[5]{x}}$;

3) $\sqrt[21]{b^{14}}$;

4) $\sqrt[18]{a^9b^{27}}$;

5) $\frac{\sqrt[8]{m^9n^{15}}}{\sqrt[8]{m^3n^5}}$.

1) Воспользуемся свойством корня из корня: $ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a} $. Показатель внешнего (квадратного) корня равен 2. Таким образом, перемножаем показатели корней: $ 2 \cdot 6 = 12 $. В результате получаем: $ \sqrt{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[2 \cdot 6]{m} = \sqrt[12]{m} $. Ответ: $ \sqrt[12]{m} $

2) Аналогично первому пункту, используем свойство корня из корня $ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a} $. Перемножаем показатели корней: $ 7 \cdot 5 = 35 $. В результате получаем: $ \sqrt[7]{\sqrt[5]{x}} = \sqrt[35]{x} $. Ответ: $ \sqrt[35]{x} $

3) Для упрощения этого выражения можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Наибольший общий делитель для 21 и 14 это 7. Используем свойство $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $. Таким образом, $ \sqrt[21]{b^{14}} = \sqrt[21 \div 7]{b^{14 \div 7}} = \sqrt[3]{b^2} $. Ответ: $ \sqrt[3]{b^2} $

4) Сократим показатель корня (18) и показатели степеней у множителей под корнем (9 и 27) на их наибольший общий делитель, который равен 9. Получаем: $ \sqrt[18]{a^9 b^{27}} = \sqrt[18 \div 9]{a^{9 \div 9} b^{27 \div 9}} = \sqrt[2]{a^1 b^3} = \sqrt{ab^3} $. Можно упростить это выражение дальше, вынеся множитель из-под знака корня: $ \sqrt{ab^3} = \sqrt{a \cdot b^2 \cdot b} = b\sqrt{ab} $ (при условии, что $ a \ge 0, b \ge 0 $). Ответ: $ b\sqrt{ab} $

5) Используем свойство частного корней с одинаковыми показателями $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $. Получаем: $ \frac{\sqrt[8]{m^9 n^{15}}}{\sqrt[8]{m^3 n^5}} = \sqrt[8]{\frac{m^9 n^{15}}{m^3 n^5}} $. Далее упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $: $ \sqrt[8]{m^{9-3}n^{15-5}} = \sqrt[8]{m^6 n^{10}} $. Теперь сократим показатель корня (8) и показатели степеней (6 и 10) на их наибольший общий делитель, который равен 2: $ \sqrt[8 \div 2]{m^{6 \div 2} n^{10 \div 2}} = \sqrt[4]{m^3 n^5} $. Наконец, вынесем множитель из-под знака корня: $ \sqrt[4]{m^3 n^5} = \sqrt[4]{m^3 \cdot n^4 \cdot n} = n\sqrt[4]{m^3 n} $ (при условии, что $ m \ge 0, n \ge 0 $). Ответ: $ n\sqrt[4]{m^3 n} $