Страница 123 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{(x-3)^4}$;

2) $\sqrt[6]{(a-23)^6}$, если $a \ge 23$;

3) $\sqrt[8]{(y+3)^8}$, если $y \le -3$;

4) $(32-a)\sqrt[4]{\frac{81}{(a-32)^4}}$, если $a > 32$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(x-3)^4}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{b^{2n}} = |b|$.

Так как показатель степени корня равен 4 (четное число), то:

$\sqrt[4]{(x-3)^4} = |x-3|$.

Поскольку нет дополнительных условий для переменной x, модуль не раскрывается.

Ответ: $|x-3|$.

2)

Для упрощения выражения $\sqrt[6]{(a-23)^6}$ при условии $a \ge 23$ воспользуемся свойством $\sqrt[2n]{b^{2n}} = |b|$.

$\sqrt[6]{(a-23)^6} = |a-23|$.

Согласно условию $a \ge 23$, выражение под знаком модуля $a-23$ является неотрицательным ($a-23 \ge 0$). Следовательно, модуль можно раскрыть со знаком плюс:

$|a-23| = a-23$.

Ответ: $a-23$.

3)

Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(y+3)^8}$ при условии $y \le -3$ воспользуемся свойством $\sqrt[2n]{b^{2n}} = |b|$.

$\sqrt[8]{(y+3)^8} = |y+3|$.

Согласно условию $y \le -3$, выражение под знаком модуля $y+3$ является неположительным ($y+3 \le 0$). Следовательно, модуль раскрывается со знаком минус:

$|y+3| = -(y+3) = -y-3$.

Ответ: $-y-3$.

4)

Упростим выражение $(32-a)\sqrt[4]{\frac{81}{(a-32)^4}}$ при условии $a > 32$.

Сначала преобразуем корень:

$\sqrt[4]{\frac{81}{(a-32)^4}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{(a-32)^4}} = \frac{\sqrt[4]{3^4}}{|a-32|} = \frac{3}{|a-32|}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(32-a) \cdot \frac{3}{|a-32|}$.

Используем условие $a > 32$. Из него следует, что $a-32 > 0$, поэтому $|a-32| = a-32$.

Выражение принимает вид:

$(32-a) \cdot \frac{3}{a-32}$.

Вынесем минус за скобки в первом множителе: $32-a = -(a-32)$.

$-(a-32) \cdot \frac{3}{a-32}$.

Так как $a > 32$, то $a-32 \ne 0$, и можно сократить дробь на $(a-32)$:

$-1 \cdot 3 = -3$.

Ответ: $-3$.

101. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{(3-\sqrt{10})^4}$;

2) $\sqrt[5]{(1-7\sqrt{2})^5}$;

3) $\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8} + \sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(3-\sqrt{10})^4}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня $4$ является четным числом, поэтому:
$\sqrt[4]{(3-\sqrt{10})^4} = |3-\sqrt{10}|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $3-\sqrt{10}$. Для этого сравним числа $3$ и $\sqrt{10}$. Возведем оба числа в квадрат:
$3^2 = 9$
$(\sqrt{10})^2 = 10$
Поскольку $9 < 10$, то $3 < \sqrt{10}$. Следовательно, разность $3-\sqrt{10}$ является отрицательным числом.
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$. Применяя это правило, получаем:
$|3-\sqrt{10}| = -(3-\sqrt{10}) = -3 + \sqrt{10} = \sqrt{10}-3$.
Ответ: $\sqrt{10}-3$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{(1-7\sqrt{2})^5}$ используется свойство корня нечетной степени: $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$.
В данном случае показатель корня $5$ является нечетным числом, поэтому корень извлекается без модуля:
$\sqrt[5]{(1-7\sqrt{2})^5} = 1-7\sqrt{2}$.
Ответ: $1-7\sqrt{2}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8} + \sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3}$, разбив его на два слагаемых.
Первое слагаемое: $\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8}$.
Показатель корня $8$ — четный, поэтому $\sqrt[8]{a^8} = |a|$.
$\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8} = |3-5\sqrt{3}|$.
Определим знак выражения $3-5\sqrt{3}$. Сравним $3$ и $5\sqrt{3}$, возведя их в квадрат:
$3^2 = 9$
$(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.
Так как $9 < 75$, то $3 < 5\sqrt{3}$, значит, выражение $3-5\sqrt{3}$ отрицательно.
$|3-5\sqrt{3}| = -(3-5\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}-3$.
Второе слагаемое: $\sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3}$.
Показатель корня $3$ — нечетный, поэтому $\sqrt[3]{a^3} = a$.
$\sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3} = 2-5\sqrt{3}$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(5\sqrt{3}-3) + (2-5\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} - 3 + 2 - 5\sqrt{3} = (5\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) + (-3 + 2) = 0 - 1 = -1$.
Ответ: $-1$.

102. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{(x+10)^4} = 6x$;

2) $\sqrt[14]{(x+9)^{14}} = x+9.$

1) $\sqrt[4]{(x+10)^4} = 6x$

По определению корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $2n = 4$, поэтому левая часть уравнения преобразуется к виду:

$\sqrt[4]{(x+10)^4} = |x+10|$

Получаем уравнение:

$|x+10| = 6x$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен ($|x+10| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам ограничение на возможные значения $x$:

$6x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

При условии, что $x \ge 0$, выражение под модулем $x+10$ всегда будет положительным ($x+10 > 0$). Следовательно, мы можем раскрыть модуль:

$|x+10| = x+10$

Теперь решаем полученное линейное уравнение:

$x+10 = 6x$

$10 = 6x - x$

$10 = 5x$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ нашему условию $x \ge 0$. Да, $2 \ge 0$, значит, корень подходит.

Ответ: $2$.

2) $\sqrt[14]{(x+9)^{14}} = x+9$

Аналогично первому пункту, используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Здесь $2n = 14$.

$\sqrt[14]{(x+9)^{14}} = |x+9|$

Уравнение принимает вид:

$|x+9| = x+9$

Равенство вида $|A| = A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$.

В нашем случае $A = x+9$. Следовательно, уравнение справедливо для всех $x$, удовлетворяющих неравенству:

$x+9 \ge 0$

$x \ge -9$

Таким образом, решением уравнения является любой $x$ из промежутка $[-9; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-9; +\infty)$.

103. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$;

2) $y = \sqrt[4]{x^4} - x$;

3) $y = \sqrt[6]{(x-1)^5} \cdot \sqrt[6]{x-1}$;

4) $y = \frac{(x-1)^2}{\sqrt[8]{(x-1)^8}} - 1.$

1) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $2n = 4$.

Таким образом, функция упрощается до $y = |x+1|$.

График этой функции — это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x+1=0$, откуда $x=-1$. Координаты вершины: $(-1, 0)$.

График состоит из двух лучей:
- луча $y = x+1$ для $x \geq -1$;
- луча $y = -(x+1) = -x-1$ для $x < -1$.

Ответ: График функции представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(-1, 0)$, ветви которого направлены вверх. Он состоит из двух лучей: $y = x+1$ при $x \geq -1$ и $y = -x-1$ при $x < -1$.

2) $y = \sqrt[4]{x^4} - x$

Упростим первое слагаемое, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$

Тогда функция принимает вид: $y = |x| - x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \geq 0$, то $|x|=x$, и функция становится $y = x - x = 0$.

2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция становится $y = -x - x = -2x$.

Таким образом, график состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$:
- луч $y=0$ (неотрицательная часть оси Ox) при $x \geq 0$;
- луч $y=-2x$ при $x < 0$.

Ответ: График состоит из луча, совпадающего с неотрицательной частью оси абсцисс ($y=0$ при $x \geq 0$), и луча $y=-2x$ при $x < 0$.

3) $y = \sqrt[6]{(x-1)^5} \cdot \sqrt[6]{x-1}$

Найдем область определения функции. Так как корень четной (шестой) степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$(x-1)^5 \geq 0 \implies x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$.

И для второго множителя: $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$.

Область определения функции: $D(y) = [1, +\infty)$.

На этой области определения мы можем объединить корни по свойству $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[6]{(x-1)^5 \cdot (x-1)} = \sqrt[6]{(x-1)^6}$

Используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем $y = |x-1|$.

Так как в области определения $x \geq 1$, то выражение $x-1$ всегда неотрицательно, и следовательно, $|x-1| = x-1$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x-1$ при $x \geq 1$.

Ответ: График функции — это луч прямой $y = x-1$, начинающийся в точке $(1, 0)$.

4) $y = \frac{(x-1)^2}{\sqrt[8]{(x-1)^8}} - 1$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\sqrt[8]{(x-1)^8} \neq 0 \implies (x-1)^8 \neq 0 \implies x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Область определения: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим знаменатель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[8]{(x-1)^8} = |x-1|$

Функция принимает вид: $y = \frac{(x-1)^2}{|x-1|} - 1$.

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $x > 1$, то $x-1 > 0$, и $|x-1| = x-1$.

$y = \frac{(x-1)^2}{x-1} - 1 = (x-1) - 1 = x-2$.

2. Если $x < 1$, то $x-1 < 0$, и $|x-1| = -(x-1)$.

$y = \frac{(x-1)^2}{-(x-1)} - 1 = -(x-1) - 1 = -x+1-1 = -x$.

График состоит из двух лучей с "выколотой" точкой при $x=1$. Найдем координаты этой точки, подставив $x=1$ в выражения для лучей: $y_{x \to 1^+} = 1-2 = -1$ и $y_{x \to 1^-} = -1$. Координаты выколотой точки — $(1, -1)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из выколотой точки $(1, -1)$: луч прямой $y=-x$ для $x<1$ и луч прямой $y=x-2$ для $x>1$.

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{20}{\sqrt[3]{5}}$;

2) $\frac{24}{\sqrt[4]{216}}$;

3) $\frac{6}{\sqrt[5]{27}}$;

4) $\frac{c^6}{\sqrt[9]{c^7}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{20}{\sqrt[3]{5}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало кубом некоторого числа. В данном случае, нам нужно получить в знаменателе $\sqrt[3]{5^3}$. Сейчас в знаменателе $\sqrt[3]{5^1}$, поэтому для получения $5^3$ нужно домножить на $5^2$. Следовательно, домножаем числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.

$\frac{20}{\sqrt[3]{5}} = \frac{20 \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{20\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5 \cdot 25}} = \frac{20\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{20\sqrt[3]{25}}{5}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{20\sqrt[3]{25}}{5} = 4\sqrt[3]{25}$

Ответ: $4\sqrt[3]{25}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{24}{\sqrt[4]{216}}$. Сначала представим подкоренное выражение в знаменателе в виде степени. $216 = 6 \cdot 36 = 6 \cdot 6^2 = 6^3$.

Таким образом, дробь имеет вид: $\frac{24}{\sqrt[4]{6^3}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно получить под корнем четвертой степени выражение $6^4$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{6^{4-3}} = \sqrt[4]{6^1} = \sqrt[4]{6}$.

$\frac{24}{\sqrt[4]{6^3}} = \frac{24 \cdot \sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{6^3} \cdot \sqrt[4]{6}} = \frac{24\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{6^3 \cdot 6}} = \frac{24\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{6^4}} = \frac{24\sqrt[4]{6}}{6}$

Сократим полученную дробь на 6:

$\frac{24\sqrt[4]{6}}{6} = 4\sqrt[4]{6}$

Ответ: $4\sqrt[4]{6}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{6}{\sqrt[5]{27}}$. Представим подкоренное выражение в виде степени: $27 = 3^3$.

Дробь принимает вид: $\frac{6}{\sqrt[5]{3^3}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно получить под корнем пятой степени выражение $3^5$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[5]{3^{5-3}} = \sqrt[5]{3^2} = \sqrt[5]{9}$.

$\frac{6}{\sqrt[5]{3^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{3^3} \cdot \sqrt[5]{9}} = \frac{6\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 3^2}} = \frac{6\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{6\sqrt[5]{9}}{3}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{6\sqrt[5]{9}}{3} = 2\sqrt[5]{9}$

Ответ: $2\sqrt[5]{9}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{c^6}{\sqrt[9]{c^7}}$. Предполагается, что $c \neq 0$, чтобы знаменатель не был равен нулю.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно получить под корнем девятой степени выражение $c^9$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[9]{c^{9-7}} = \sqrt[9]{c^2}$.

$\frac{c^6}{\sqrt[9]{c^7}} = \frac{c^6 \cdot \sqrt[9]{c^2}}{\sqrt[9]{c^7} \cdot \sqrt[9]{c^2}} = \frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{\sqrt[9]{c^7 \cdot c^2}} = \frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{\sqrt[9]{c^9}} = \frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{c}$

Сократим полученное выражение, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{c} = c^{6-1}\sqrt[9]{c^2} = c^5\sqrt[9]{c^2}$

Ответ: $c^5\sqrt[9]{c^2}$

105. Сократите дробь:

1) $\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

2) $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}}$

3) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$

4) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$

5) $\frac{\sqrt[8]{8a^5}-\sqrt[8]{32a^3}}{\sqrt[8]{2a^5}-\sqrt[8]{32a}}$

6) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$

7) $\frac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}$

1) $\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Представим числитель $a-b$ как разность квадратов, используя то, что $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. $a-b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$. Сократим общий множитель $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе. Область определения выражения $a \ge 0, b \ge 0$, и чтобы знаменатель не был равен нулю, $a$ и $b$ не могут быть одновременно равны нулю. В этой области $(\sqrt{a}+\sqrt{b}) > 0$, поэтому сокращение корректно. В результате получаем: $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a}-\sqrt{b}$

2) $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}}$

Приведем все корни к одному показателю 6. Для этого воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k$ и тем, что $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$. $\sqrt[3]{m} = \sqrt[6]{m^2} = (\sqrt[6]{m})^2$. $\sqrt[3]{n} = \sqrt[6]{n^2} = (\sqrt[6]{n})^2$. Подставим эти выражения в знаменатель дроби: $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{(\sqrt[6]{m})^2 - (\sqrt[6]{n})^2}$. Знаменатель представляет собой разность квадратов. Разложим его по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(\sqrt[6]{m})^2 - (\sqrt[6]{n})^2 = (\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n})(\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n})$. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{(\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n})(\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n})}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n})$. Это возможно при $m \ge 0, n \ge 0$ и $m \ne n$. В результате получаем: $\frac{1}{\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n}}$

3) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$

Представим числитель в виде разности квадратов, заметив, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $9 = 3^2$. $\sqrt{x}-9 = (\sqrt[4]{x})^2 - 3^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $(\sqrt[4]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)$. Подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)}{\sqrt[4]{x}+3}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{x}+3)$. Так как $\sqrt[4]{x} \ge 0$ при $x \ge 0$, то знаменатель $\sqrt[4]{x}+3 \ge 3$ и никогда не равен нулю. Сокращение корректно. В результате получаем: $\sqrt[4]{x}-3$.

Ответ: $\sqrt[4]{x}-3$

4) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$

Приведем все степени к одному основанию $\sqrt[6]{x}$. $\sqrt[3]{x} = \sqrt[6]{x^2} = (\sqrt[6]{x})^2$. $x = (\sqrt[6]{x})^6$. $\sqrt[6]{x^5} = (\sqrt[6]{x})^5$. Подставим эти выражения в дробь: $\frac{(\sqrt[6]{x})^2+\sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x})^6+(\sqrt[6]{x})^5}$. Введем замену $y = \sqrt[6]{x}$, чтобы упростить выражение: $\frac{y^2+y}{y^6+y^5}$. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $\frac{y(y+1)}{y^5(y+1)}$. Сократим общие множители $y$ и $(y+1)$. Это возможно при $x>0$, тогда $y = \sqrt[6]{x} > 0$ и $y+1 > 1$. После сокращения получаем $\frac{1}{y^4}$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$: $\frac{1}{(\sqrt[6]{x})^4} = \frac{1}{\sqrt[6]{x^4}}$. Упростим показатель корня и степень подкоренного выражения, разделив их на 2: $\frac{1}{\sqrt[6/2]{x^{4/2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

5) $\frac{\sqrt[8]{8a^5}-\sqrt[8]{32a^3}}{\sqrt[8]{2a^5}-\sqrt[8]{32a}}$

Разложим числа под корнями на простые множители: $8=2^3$, $32=2^5$. $\frac{\sqrt[8]{2^3a^5}-\sqrt[8]{2^5a^3}}{\sqrt[8]{2a^5}-\sqrt[8]{2^5a}}$. Вынесем общие множители из-под знака корня в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель $\sqrt[8]{2^3a^3}$: $\sqrt[8]{2^3a^3(a^2)} - \sqrt[8]{2^3a^3(2^2)} = \sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[8]{a^2}-\sqrt[8]{2^2}) = \sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})$. В знаменателе общий множитель $\sqrt[8]{2a}$: $\sqrt[8]{2a(a^4)} - \sqrt[8]{2a(2^4)} = \sqrt[8]{2a}(\sqrt[8]{a^4}-\sqrt[8]{2^4}) = \sqrt[8]{2a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})$. Подставим эти выражения в дробь: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})}{\sqrt[8]{2a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})}$. Разложим выражение $(\sqrt{a}-\sqrt{2})$ в знаменателе как разность квадратов: $\sqrt{a}-\sqrt{2} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{2})^2 = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2})$. Получаем: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})}{\sqrt[8]{2a}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2})}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})$ при $a \neq 2$: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}}{\sqrt[8]{2a}(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2})}$. Упростим частное корней: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}}{\sqrt[8]{2a}} = \sqrt[8]{\frac{8a^3}{2a}} = \sqrt[8]{4a^2} = \sqrt[8]{(2a)^2} = \sqrt[4]{2a}$. Итоговое выражение: $\frac{\sqrt[4]{2a}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{2a}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2}}$

6) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$

Заметим, что данное выражение похоже на формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b=4$. Тогда числитель $x+64 = (\sqrt[3]{x})^3 + 4^3 = a^3+b^3$. Знаменатель $\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16 = (\sqrt[3]{x})^2 - 4\sqrt[3]{x} + 4^2 = a^2 - ab + b^2$. Применим формулу суммы кубов для разложения числителя: $x+64 = (\sqrt[3]{x}+4)(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16)$. Подставим это в дробь: $\frac{(\sqrt[3]{x}+4)(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16)}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16)$. Знаменатель является неполным квадратом разности, и для выражения $t^2-4t+16$ дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. Сокращение корректно. В результате получаем: $\sqrt[3]{x}+4$.

Ответ: $\sqrt[3]{x}+4$

7) $\frac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}$

Рассмотрим знаменатель $x\sqrt{x}+3\sqrt{3}$. Его можно представить как сумму кубов. $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2} = (\sqrt{x})^3$. $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2} = (\sqrt{3})^3$. Значит, знаменатель равен $(\sqrt{x})^3+(\sqrt{3})^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{3}$. $(\sqrt{x})^3+(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{3})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{3})(x-\sqrt{3x}+3)$. Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{x-\sqrt{3x}+3}{(\sqrt{x}+\sqrt{3})(x-\sqrt{3x}+3)}$. Сократим общий множитель $(x-\sqrt{3x}+3)$. Выражение в числителе является неполным квадратом разности и всегда положительно, так как для квадратного уравнения $t^2 - \sqrt{3}t + 3 = 0$ (где $t=\sqrt{x}$) дискриминант $D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 3 - 12 = -9 < 0$. Поэтому сокращение корректно. В результате получаем: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$