Страница 117 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Через какие из данных точек проходит график функции $y = x^3$:

1) A($-4$; $-64$);

2) B($3$; $-27$);

3) C($0.2$; $0,008$);

4) D($-5$; $125$)?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^3$ через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику функции.

1) A(-4; -64)

Подставляем координаты $x = -4$ и $y = -64$ в уравнение $y = x^3$:

$-64 = (-4)^3$

$-64 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4)$

$-64 = 16 \cdot (-4)$

$-64 = -64$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку A.
Ответ: проходит.

2) B(3; -27)

Подставляем координаты $x = 3$ и $y = -27$ в уравнение $y = x^3$:

$-27 = 3^3$

$-27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

$-27 = 27$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку B.
Ответ: не проходит.

3) C(0,2; 0,008)

Подставляем координаты $x = 0,2$ и $y = 0,008$ в уравнение $y = x^3$:

$0,008 = (0,2)^3$

$0,008 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2$

$0,008 = 0,04 \cdot 0,2$

$0,008 = 0,008$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку C.
Ответ: проходит.

4) D(-5; 125)

Подставляем координаты $x = -5$ и $y = 125$ в уравнение $y = x^3$:

$125 = (-5)^3$

$125 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$

$125 = 25 \cdot (-5)$

$125 = -125$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку D.
Ответ: не проходит.

Таким образом, график функции $y = x^3$ проходит через точки A(-4; -64) и C(0,2; 0,008).

48. Функция задана формулой $\varphi(x) = x^{16}$. Сравните:

1) $\varphi(3,5)$ и $\varphi(2,9)$;

2) $\varphi(-8,1)$ и $\varphi(-6,5)$;

3) $\varphi(1,4)$ и $\varphi(-1,4)$;

4) $\varphi(-0,18)$ и $\varphi(0,14)$.

Для сравнения значений функции $ \varphi(x) = x^{16} $ проанализируем ее свойства. Показатель степени 16 является четным числом, поэтому функция обладает следующими ключевыми свойствами:
1. Четность: для любого значения $ x $ выполняется равенство $ \varphi(-x) = (-x)^{16} = x^{16} = \varphi(x) $.
2. Возрастание на $ [0, +\infty) $: если $ 0 \le x_1 < x_2 $, то $ \varphi(x_1) < \varphi(x_2) $.
3. Убывание на $ (-\infty, 0] $: если $ x_1 < x_2 \le 0 $, то $ \varphi(x_1) > \varphi(x_2) $.

1) $ \varphi(3,5) $ и $ \varphi(2,9) $;
Аргументы $ 3,5 $ и $ 2,9 $ оба положительны, то есть принадлежат промежутку возрастания функции. Поскольку $ 3,5 > 2,9 $, то из свойства возрастания функции следует, что $ \varphi(3,5) > \varphi(2,9) $.
Ответ: $ \varphi(3,5) > \varphi(2,9) $.

2) $ \varphi(-8,1) $ и $ \varphi(-6,5) $;
Аргументы $ -8,1 $ и $ -6,5 $ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку убывания функции. Поскольку $ -8,1 < -6,5 $, то из свойства убывания функции следует, что $ \varphi(-8,1) > \varphi(-6,5) $.
Альтернативно, можно использовать свойство четности: $ \varphi(-8,1) = (8,1)^{16} $ и $ \varphi(-6,5) = (6,5)^{16} $. Так как $ 8,1 > 6,5 $, а на положительной полуоси функция возрастает, то $ (8,1)^{16} > (6,5)^{16} $, что означает $ \varphi(-8,1) > \varphi(-6,5) $.
Ответ: $ \varphi(-8,1) > \varphi(-6,5) $.

3) $ \varphi(1,4) $ и $ \varphi(-1,4) $;
Функция $ \varphi(x) = x^{16} $ является четной. По определению четной функции, $ \varphi(x) = \varphi(-x) $ для любого $ x $. Подставив $ x = 1,4 $, получаем $ \varphi(1,4) = \varphi(-1,4) $.
Ответ: $ \varphi(1,4) = \varphi(-1,4) $.

4) $ \varphi(-0,18) $ и $ \varphi(0,14) $.
Воспользуемся свойством четности для первого выражения: $ \varphi(-0,18) = (-0,18)^{16} = (0,18)^{16} $.
Теперь необходимо сравнить $ (0,18)^{16} $ и $ \varphi(0,14) = (0,14)^{16} $. Аргументы $ 0,18 $ и $ 0,14 $ — положительные числа, то есть принадлежат промежутку возрастания функции. Поскольку $ 0,18 > 0,14 $, то $ (0,18)^{16} > (0,14)^{16} $.
Следовательно, $ \varphi(-0,18) > \varphi(0,14) $.
Ответ: $ \varphi(-0,18) > \varphi(0,14) $.

49. Функция задана формулой $f(x) = x^{15}$. Сравните:

1) $f(3,4)$ и $f(5,2)$;

2) $f(-0,35)$ и $f(-0,24)$;

3) $f(4,1)$ и $f(-4,1)$.

Дана функция $f(x) = x^{15}$. Это степенная функция с нечетным натуральным показателем степени. Основное свойство такой функции - она является строго возрастающей на всей своей области определения (на множестве всех действительных чисел). Это означает, что если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Также эта функция является нечетной, то есть $f(-x) = -f(x)$.

1) f(3,4) и f(5,2)

Сравним аргументы функции: $3,4 < 5,2$. Поскольку функция $f(x) = x^{15}$ является возрастающей, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(3,4) < f(5,2)$.

Ответ: $f(3,4) < f(5,2)$.

2) f(–0,35) и f(–0,24)

Сравним аргументы функции: $-0,35 < -0,24$. Так как функция $f(x) = x^{15}$ является возрастающей на всей числовой прямой, то из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции. Таким образом, $f(-0,35) < f(-0,24)$.

Ответ: $f(-0,35) < f(-0,24)$.

3) f(4,1) и f(–4,1)

Здесь можно рассуждать двумя способами.

Способ 1: Сравним знаки значений функции. $f(4,1) = (4,1)^{15}$. Так как $4,1 > 0$, то и любая его степень будет положительной, то есть $f(4,1) > 0$. $f(-4,1) = (-4,1)^{15}$. Так как основание степени отрицательное, а показатель $15$ - нечетное число, то результат будет отрицательным, то есть $f(-4,1) < 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $f(4,1) > f(-4,1)$.

Способ 2: Используем свойство возрастания функции. Сравним аргументы: $-4,1 < 4,1$. Поскольку функция $f(x) = x^{15}$ возрастающая, то $f(-4,1) < f(4,1)$.

Ответ: $f(4,1) > f(-4,1)$.

50. Решите уравнение:

1) $x^5 = -32;$

2) $x^3 = 343;$

3) $x^4 = 10000;$

4) $x^4 = -81.$

1) $x^5 = -32$

Чтобы решить это уравнение, необходимо найти корень пятой степени из -32. Это можно записать как $x = \sqrt[5]{-32}$.

Поскольку показатель степени 5 является нечетным числом, уравнение имеет один действительный корень. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает -32.

Проверим число -2:

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$.

Следовательно, $x = -2$.

Ответ: -2.

2) $x^3 = 343$

Для решения нужно найти корень третьей степени (кубический корень) из 343. Запишем это как $x = \sqrt[3]{343}$.

Показатель степени 3 является нечетным, поэтому уравнение имеет один действительный корень.

Найдем число, куб которого равен 343. Можно заметить, что число 343 оканчивается на 3. Из кубов целых чисел от 1 до 9 только куб числа, оканчивающегося на 7, будет оканчиваться на 3. Проверим число 7:

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Таким образом, $x = 7$.

Ответ: 7.

3) $x^4 = 10000$

Здесь показатель степени 4 является четным числом, а правая часть уравнения (10000) — положительное число. В этом случае уравнение вида $x^n = a$ (где $n$ — четное, $a > 0$) имеет два действительных корня: $x = \sqrt[n]{a}$ и $x = -\sqrt[n]{a}$.

Следовательно, решениями будут $x = \pm\sqrt[4]{10000}$.

Найдем корень четвертой степени из 10000. Мы знаем, что $10000 = 100 \cdot 100 = 10^2 \cdot 10^2 = 10^4$.

Значит, $\sqrt[4]{10000} = 10$.

Корни уравнения: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Ответ: -10; 10.

4) $x^4 = -81$

Показатель степени 4 является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. То есть, для любого действительного $x$, $x^4 \ge 0$.

Правая часть уравнения равна -81, что является отрицательным числом.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

51. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

1) $y = x^8$ и $y = 9x^6$;

2) $y = x^5$ и $y = -8x^2$.

1) Для того чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = x^8$ и $y = 9x^6$, необходимо приравнять выражения для $y$ друг к другу. Это даст нам уравнение, решения которого и будут искомыми абсциссами.

$x^8 = 9x^6$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x^8 - 9x^6 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^6$:

$x^6(x^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два случая:

а) $x^6 = 0$

Из этого следует, что $x = 0$.

б) $x^2 - 9 = 0$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители $(x-3)(x+3)=0$ или решить как $x^2 = 9$. Корнями этого уравнения являются $x = 3$ и $x = -3$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков — это -3, 0 и 3.

Ответ: -3; 0; 3.

2) Аналогично, для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций $y = x^5$ и $y = -8x^2$ приравняем их правые части:

$x^5 = -8x^2$

Перенесем слагаемое из правой части в левую:

$x^5 + 8x^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(x^3 + 8) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $x^2 = 0$

Отсюда следует, что $x = 0$.

б) $x^3 + 8 = 0$

Перенесем 8 в правую часть: $x^3 = -8$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, находим $x = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков — это -2 и 0.

Ответ: -2; 0.

52. Постройте график функции:

1) $y = x^3 - 2$;

2) $y = (x - 2)^3$;

3) $y = x^4 + 2$;

4) $y = -\frac{1}{4}x^4$.

1) $y = x^3 - 2$

Для построения графика функции $y = x^3 - 2$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является кубическая парабола $y = x^3$.

График функции вида $y = f(x) - c$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $c$ единиц вниз. В нашем случае $f(x) = x^3$ и $c = 2$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^3 - 2$, нужно сдвинуть график функции $y = x^3$ на 2 единицы вниз по оси ординат.

Составим таблицу ключевых точек для $y = x^3$ и для $y = x^3 - 2$:

Для $y = x^3$: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
Для $y = x^3 - 2$: Каждая ордината ($y$) уменьшается на 2. Получаем точки: $(-2, -10)$, $(-1, -3)$, $(0, -2)$, $(1, -1)$, $(2, 6)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции $y = x^3 - 2$.

Ответ: График функции $y = x^3 - 2$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

2) $y = (x - 2)^3$

График этой функции строится на основе графика $y = x^3$. Преобразование вида $y = f(x - c)$ соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $c$ единиц вправо. В данном случае $f(x) = x^3$ и $c = 2$. Таким образом, график $y = (x - 2)^3$ получается сдвигом графика $y = x^3$ на 2 единицы вправо.

Составим таблицу ключевых точек:

Для $y = x^3$: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
Для $y = (x - 2)^3$: Каждая абсцисса ($x$) увеличивается на 2. Получаем точки: $(0, -8)$, $(1, -1)$, $(2, 0)$, $(3, 1)$, $(4, 8)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции $y = (x - 2)^3$. Центр симметрии графика сместится в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

3) $y = x^4 + 2$

За основу возьмем график степенной функции $y = x^4$. График этой функции симметричен относительно оси $Oy$ и проходит через начало координат. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат ($Oy$) на $c$ единиц вверх. Здесь $f(x) = x^4$ и $c = 2$. Следовательно, график $y = x^4 + 2$ получается сдвигом графика $y = x^4$ на 2 единицы вверх.

Составим таблицу ключевых точек:

Для $y = x^4$: $(-2, 16)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 16)$.
Для $y = x^4 + 2$: Каждая ордината ($y$) увеличивается на 2. Получаем точки: $(-2, 18)$, $(-1, 3)$, $(0, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 18)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим искомый график. Вершина графика сместится из $(0,0)$ в точку $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = x^4 + 2$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

4) $y = -\frac{1}{4}x^4$

Для построения графика этой функции также используем базовый график $y = x^4$. Преобразование вида $y = a \cdot f(x)$ приводит к изменению графика $y = f(x)$ следующим образом:

1. Если $a < 0$, график отражается симметрично относительно оси абсцисс ($Ox$). В нашем случае $a = -\frac{1}{4}$, так что ветви графика будут направлены вниз.

2. Если $0 < |a| < 1$, происходит сжатие графика к оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$). В нашем случае $|a| = \frac{1}{4}$, значит, произойдет вертикальное сжатие графика в 4 раза (каждая ордината умножается на $\frac{1}{4}$).

Таким образом, чтобы построить график $y = -\frac{1}{4}x^4$, нужно график $y = x^4$ отразить относительно оси $Ox$ и сжать его к оси $Ox$ в 4 раза.

Составим таблицу значений:

Для $y = x^4$: $(-2, 16)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 16)$.
Для $y = -\frac{1}{4}x^4$: Каждую ординату ($y$) умножаем на $-\frac{1}{4}$. Получаем точки: $(-2, -4)$, $(-1, -0.25)$, $(0, 0)$, $(1, -0.25)$, $(2, -4)$.

Отметив эти точки и соединив их плавной кривой, получим искомый график. Вершина останется в точке $(0, 0)$, а ветви будут направлены вниз и будут "шире", чем у графика $y = -x^4$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{4}x^4$ — это график функции $y = x^4$, отраженный относительно оси $Ox$ и сжатый к оси $Ox$ в 4 раза.

53. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^6$ на промежутке:

1) [0; 3];

2) [-3; -2];

3) [-3; 3];

4) $(-\infty; -3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^6$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. Это степенная функция с чётным показателем (6).

• График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY), так как функция чётная: $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; \infty)$.
• В точке $x=0$ функция достигает своего глобального минимума, равного $y(0) = 0^6 = 0$.
• Функция всегда неотрицательна, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке, нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее. В данном случае, единственная точка экстремума (минимума) — это $x=0$.

1) [0; 3]

Данный промежуток — это отрезок $[0; 3]$. На этом отрезке функция $y = x^6$ является монотонно возрастающей, так как он полностью лежит в области возрастания функции ($[0; \infty)$).
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^6 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = 3^6 = 729$.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 729.

2) [-3; -2]

Данный промежуток — это отрезок $[-3; -2]$. На этом отрезке функция $y = x^6$ является монотонно убывающей, так как он полностью лежит в области убывания функции ($( - \infty; 0]$).
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = (-3)^6 = 729$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = (-2)^6 = 64$.

Ответ: наименьшее значение равно 64, наибольшее значение равно 729.

3) [-3; 3]

Данный промежуток — это отрезок $[-3; 3]$. Этот отрезок включает в себя точку минимума функции $x=0$.
Наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в точке минимума.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^6 = 0$.
Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах отрезка.
$y(-3) = (-3)^6 = 729$.
$y(3) = 3^6 = 729$.
Так как на отрезке $[-3; 0]$ функция убывает от $y(-3)=729$ до $y(0)=0$, а на отрезке $[0; 3]$ возрастает от $y(0)=0$ до $y(3)=729$, то наибольшее значение достигается на концах отрезка.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 729$.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 729.

4) (-∞; -3]

Данный промежуток — это луч $(-\infty; -3]$. На этом промежутке функция $y = x^6$ является монотонно убывающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в самой правой точке промежутка, то есть при $x = -3$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = (-3)^6 = 729$.
Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} x^6 = +\infty$.
Это означает, что функция не ограничена сверху на данном промежутке, и её значения могут быть сколь угодно большими. Таким образом, наибольшего значения у функции на этом промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 729, наибольшего значения не существует.

54. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^5$ на промежутке:

1) $[-3; 2]$

2) $(-\infty; -2]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^5$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение.

Функция $y = x^5$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем. Чтобы определить ее монотонность, найдем ее производную:
$y' = (x^5)' = 5x^4$.

Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, производная $y' = 5x^4$ всегда неотрицательна ($y' \ge 0$). Это означает, что функция $y = x^5$ монотонно возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

1) Промежуток $[-3; 2]$

Так как функция $y = x^5$ монотонно возрастает на отрезке $[-3; 2]$, свое наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим наименьшее значение функции при $x = -3$:
$y_{наим} = (-3)^5 = - (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -243$.

Вычислим наибольшее значение функции при $x = 2$:
$y_{наиб} = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: $y_{наим} = -243$, $y_{наиб} = 32$.

2) Промежуток $(-\infty; -2]$

На промежутке $(-\infty; -2]$ функция $y = x^5$ также монотонно возрастает.

Поскольку функция возрастает, ее наибольшее значение на этом промежутке будет достигаться в самой правой его точке, то есть при $x = -2$:
$y_{наиб} = (-2)^5 = -32$.

Наименьшего значения на данном промежутке не существует, так как при $x \to -\infty$, значение функции $y = x^5$ также стремится к $-\infty$. То есть, функция не ограничена снизу на этом промежутке.

Ответ: $y_{наиб} = -32$, наименьшего значения не существует.

55. Определите графически количество корней уравнения:

1) $-x^6 = -2 + x$;

2) $x^7 = 2x + 3$.

Для графического определения количества корней уравнения необходимо представить его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Количество корней исходного уравнения будет равно количеству точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

1) $-x^6 = -2 + x$

Представим данное уравнение в виде равенства двух функций: $y_1 = -x^6$ и $y_2 = x - 2$.
Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.
1. График функции $y_1 = -x^6$ — это степенная функция. Так как показатель степени — четное число (6), график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Знак "минус" перед $x^6$ означает, что ветви графика направлены вниз. График проходит через начало координат (0,0), а также через точки (1, -1) и (-1, -1). Он похож на параболу, но более "прижат" к оси $Ox$ на интервале $(-1, 1)$ и растет (по модулю) быстрее вне этого интервала.
2. График функции $y_2 = x - 2$ — это прямая линия. Она пересекает ось $Oy$ в точке (0, -2) и ось $Ox$ в точке (2, 0). Угловой коэффициент равен 1.
При построении эскизов видно, что графики пересекаются в двух точках.
Одна точка пересечения находится в IV координатной четверти (при $x > 0$). Можно заметить, что $x=1$ является корнем: $-1^6 = -1$ и $1-2 = -1$.
Вторая точка пересечения находится в III координатной четверти (при $x < 0$). При $x=0$ график $y_1 = -x^6$ находится выше графика $y_2 = x - 2$ ($0 > -2$). При $x \to -\infty$ функция $-x^6$ убывает гораздо быстрее, чем $x-2$, поэтому график $y_1$ окажется ниже графика $y_2$. Так как обе функции непрерывны, их графики должны пересечься при некотором отрицательном значении $x$.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

2) $x^7 = 2x + 3$

Представим данное уравнение в виде равенства двух функций: $y_1 = x^7$ и $y_2 = 2x + 3$.
Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.
1. График функции $y_1 = x^7$ — это степенная функция. Так как показатель степени — нечетное число (7), график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, -1). Он похож на кубическую параболу, но более "прижат" к оси $Ox$ на интервале $(-1, 1)$ и растет быстрее вне этого интервала.
2. График функции $y_2 = 2x + 3$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 2, пересекающая ось $Oy$ в точке (0, 3). Ось $Ox$ она пересекает в точке $(-1.5, 0)$.
Рассмотрим поведение графиков:
- При $x > 0$: В точке $x=0$ прямая находится выше графика степенной функции ($3 > 0$). Однако, при росте $x$, функция $x^7$ растет значительно быстрее, чем линейная функция $2x+3$. Например, при $x=2$, $y_1=128$, а $y_2=7$. Так как обе функции непрерывны, их графики должны пересечься в одной точке при $x>0$.
- При $x \le 0$: Прямая $y_2=2x+3$ положительна на интервале $(-1.5, 0)$ и равна нулю при $x=-1.5$, в то время как функция $y_1=x^7$ на этом интервале отрицательна или равна нулю. Следовательно, на промежутке $[-1.5, 0]$ пересечений нет. При $x < -1.5$ обе функции отрицательны, но абсолютное значение $x^7$ растет намного быстрее, чем абсолютное значение $2x+3$, поэтому график $y_1=x^7$ будет всегда лежать ниже графика $y_2=2x+3$. Пересечений в этой области также нет.
Следовательно, графики функций пересекаются только в одной точке.
Ответ: 1 корень.

56. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x^4 + 1, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < 1 \\ \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^4 + 1, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Для построения графика этой кусочно-заданной функции рассмотрим две ее части.

При $x < 0$ строим график функции $y = x^4 + 1$. Это график стандартной функции $y = x^4$, смещенный на 1 единицу вверх по оси OY. Для $x < 0$ это левая ветвь, которая убывает при приближении к оси OY. Найдем несколько контрольных точек: при $x = -1$, $y = (-1)^4 + 1 = 2$; при $x = -2$, $y = (-2)^4 + 1 = 17$. При $x \to 0^-$, значение $y \to 1$. Следовательно, точка $(0, 1)$ является конечной для этой части графика, и она будет выколотой.

При $x \ge 0$ строим график функции $y = \frac{1}{x+1}$. Это график гиперболы $y = \frac{1}{x}$, смещенный на 1 единицу влево по оси OX. Мы рассматриваем только ту часть графика, где $x \ge 0$. Найдем контрольные точки: при $x = 0$, $y = \frac{1}{0+1} = 1$; при $x = 1$, $y = \frac{1}{1+1} = 0.5$. Точка $(0, 1)$ принадлежит этой части графика, "закрашивая" выколотую точку от первой части. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=0$. На этом интервале функция также убывает, асимптотически приближаясь к оси OX ($y=0$).

Анализ монотонности по построенному графику. График функции непрерывно убывает на всей числовой оси. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает от $+\infty$ до 1. На промежутке $[0, \infty)$ она продолжает убывать от 1 до 0. Таким образом, у функции нет промежутков возрастания.

Промежутки возрастания: нет.
Промежутки убывания: $(-\infty, \infty)$.

Ответ: Промежутков возрастания нет, функция убывает на промежутке $(-\infty, \infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < 1 \\ \sqrt{x} - 2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Для построения графика также рассмотрим две части.

При $x < 1$ строим график функции $y = -x^3$. Это график кубической параболы $y = x^3$, отраженный симметрично относительно оси OX. Эта функция является убывающей на всей своей области определения. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(-1, 1)$. При $x \to 1^-$, значение $y \to -1^3 = -1$. Точка $(1, -1)$ является выколотой для этой части графика.

При $x \ge 1$ строим график функции $y = \sqrt{x} - 2$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вниз по оси OY. Эта функция является возрастающей. Найдем контрольные точки: при $x = 1$, $y = \sqrt{1} - 2 = -1$. Эта точка $(1, -1)$ "закрашивает" выколотую точку от первой части, делая функцию непрерывной. Другие точки на графике: $(4, 0)$ (пересечение с осью OX), $(9, 1)$.

Анализ монотонности по построенному графику. Совместив обе части, видим, что функция убывает на промежутке до $x=1$, а затем возрастает, начиная с $x=1$. Точка $(1, -1)$ является точкой минимума функции.

Промежутки возрастания: $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 1]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.