Номер 52, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Постройте график функции:

1) $y = x^3 - 2$;

2) $y = (x - 2)^3$;

3) $y = x^4 + 2$;

4) $y = -\frac{1}{4}x^4$.

1) $y = x^3 - 2$

Для построения графика функции $y = x^3 - 2$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является кубическая парабола $y = x^3$.

График функции вида $y = f(x) - c$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $c$ единиц вниз. В нашем случае $f(x) = x^3$ и $c = 2$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^3 - 2$, нужно сдвинуть график функции $y = x^3$ на 2 единицы вниз по оси ординат.

Составим таблицу ключевых точек для $y = x^3$ и для $y = x^3 - 2$:

Для $y = x^3$: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
Для $y = x^3 - 2$: Каждая ордината ($y$) уменьшается на 2. Получаем точки: $(-2, -10)$, $(-1, -3)$, $(0, -2)$, $(1, -1)$, $(2, 6)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции $y = x^3 - 2$.

Ответ: График функции $y = x^3 - 2$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

2) $y = (x - 2)^3$

График этой функции строится на основе графика $y = x^3$. Преобразование вида $y = f(x - c)$ соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $c$ единиц вправо. В данном случае $f(x) = x^3$ и $c = 2$. Таким образом, график $y = (x - 2)^3$ получается сдвигом графика $y = x^3$ на 2 единицы вправо.

Составим таблицу ключевых точек:

Для $y = x^3$: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
Для $y = (x - 2)^3$: Каждая абсцисса ($x$) увеличивается на 2. Получаем точки: $(0, -8)$, $(1, -1)$, $(2, 0)$, $(3, 1)$, $(4, 8)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции $y = (x - 2)^3$. Центр симметрии графика сместится в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

3) $y = x^4 + 2$

За основу возьмем график степенной функции $y = x^4$. График этой функции симметричен относительно оси $Oy$ и проходит через начало координат. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат ($Oy$) на $c$ единиц вверх. Здесь $f(x) = x^4$ и $c = 2$. Следовательно, график $y = x^4 + 2$ получается сдвигом графика $y = x^4$ на 2 единицы вверх.

Составим таблицу ключевых точек:

Для $y = x^4$: $(-2, 16)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 16)$.
Для $y = x^4 + 2$: Каждая ордината ($y$) увеличивается на 2. Получаем точки: $(-2, 18)$, $(-1, 3)$, $(0, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 18)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим искомый график. Вершина графика сместится из $(0,0)$ в точку $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = x^4 + 2$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

4) $y = -\frac{1}{4}x^4$

Для построения графика этой функции также используем базовый график $y = x^4$. Преобразование вида $y = a \cdot f(x)$ приводит к изменению графика $y = f(x)$ следующим образом:

1. Если $a < 0$, график отражается симметрично относительно оси абсцисс ($Ox$). В нашем случае $a = -\frac{1}{4}$, так что ветви графика будут направлены вниз.

2. Если $0 < |a| < 1$, происходит сжатие графика к оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$). В нашем случае $|a| = \frac{1}{4}$, значит, произойдет вертикальное сжатие графика в 4 раза (каждая ордината умножается на $\frac{1}{4}$).

Таким образом, чтобы построить график $y = -\frac{1}{4}x^4$, нужно график $y = x^4$ отразить относительно оси $Ox$ и сжать его к оси $Ox$ в 4 раза.

Составим таблицу значений:

Для $y = x^4$: $(-2, 16)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 16)$.
Для $y = -\frac{1}{4}x^4$: Каждую ординату ($y$) умножаем на $-\frac{1}{4}$. Получаем точки: $(-2, -4)$, $(-1, -0.25)$, $(0, 0)$, $(1, -0.25)$, $(2, -4)$.

Отметив эти точки и соединив их плавной кривой, получим искомый график. Вершина останется в точке $(0, 0)$, а ветви будут направлены вниз и будут "шире", чем у графика $y = -x^4$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{4}x^4$ — это график функции $y = x^4$, отраженный относительно оси $Ox$ и сжатый к оси $Ox$ в 4 раза.