Номер 58, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-6) > f(2)$;

2) $f(-6) > f(-2)$;

3) $f(-6) < f(2)$;

4) $f(-6) < f(-2)$?

Для решения задачи проанализируем свойства степенной функции $y = x^n$ ($f(x) = x^n$) в зависимости от чётности натурального показателя $n$.

• Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $f(x) = x^n$ является чётной, то есть $f(-x) = f(x)$. Её значения неотрицательны. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
• Если $n$ — нечётное натуральное число, то функция $f(x) = x^n$ является нечётной, то есть $f(-x) = -f(x)$. Функция возрастает на всей числовой оси.

1) f(-6) > f(2)

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n > 2^n$.
- Если $n$ — чётное, то $(-6)^n = 6^n$. Неравенство принимает вид $6^n > 2^n$. Так как $6 > 2$ и $n \in \mathbb{N}$, это неравенство верно.
- Если $n$ — нечётное, то $(-6)^n = -6^n$. Неравенство принимает вид $-6^n > 2^n$. Это неверно, так как слева стоит отрицательное число, а справа — положительное.
Следовательно, $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

2) f(-6) > f(-2)

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n > (-2)^n$.
- Если $n$ — чётное, функция $f(x) = x^n$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$. Поскольку $-6 < -2$, то по свойству убывающей функции $f(-6) > f(-2)$. Это соответствует условию. Алгебраически: $(-6)^n = 6^n$ и $(-2)^n = 2^n$. Неравенство $6^n > 2^n$ является верным.
- Если $n$ — нечётное, функция $f(x) = x^n$ возрастает на всей числовой прямой. Поскольку $-6 < -2$, то должно выполняться $f(-6) < f(-2)$. Это противоречит условию. Алгебраически: $(-6)^n = -6^n$ и $(-2)^n = -2^n$. Неравенство $-6^n > -2^n$ эквивалентно $6^n < 2^n$, что неверно.
Следовательно, $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

3) f(-6) < f(2)

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n < 2^n$.
- Если $n$ — чётное, то $(-6)^n = 6^n$. Неравенство принимает вид $6^n < 2^n$. Это неверно, так как $6 > 2$.
- Если $n$ — нечётное, то $(-6)^n = -6^n$. Неравенство принимает вид $-6^n < 2^n$. Это верно, так как левая часть отрицательна, а правая — положительна.
Следовательно, $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

4) f(-6) < f(-2)?

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n < (-2)^n$.
- Если $n$ — чётное, функция $f(x) = x^n$ убывает на $(-\infty, 0)$. Так как $-6 < -2$, должно выполняться $f(-6) > f(-2)$. Это противоречит условию. Алгебраически: $6^n < 2^n$, что неверно.
- Если $n$ — нечётное, функция $f(x) = x^n$ возрастает. Так как $-6 < -2$, то $f(-6) < f(-2)$. Это соответствует условию. Алгебраически: $-6^n < -2^n$, что эквивалентно $6^n > 2^n$, и это верно.
Следовательно, $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.