Номер 64, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Постройте график функции:

1) $y = x^{-2} - 2$;

2) $y = (x - 2)^{-2}$;

3) $y = 2x^{-3}$.

1) $y = x^2 - 2$

График функции $y = x^2 - 2$ строится на основе графика базовой функции $y = x^2$ (стандартная парабола). Для получения искомого графика необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Ключевые характеристики графика:

• Тип графика: парабола, ветви которой направлены вверх.
• Вершина параболы: $(0, -2)$.
• Ось симметрии: $x = 0$ (ось $Oy$).
• Точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$): $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Для построения графика следует отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2$ — парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вниз.

2) $y = (x - 2)^2$

График функции $y = (x - 2)^2$ также строится на основе параболы $y = x^2$. Для получения искомого графика необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Ключевые характеристики графика:

• Тип графика: парабола, ветви которой направлены вверх.
• Вершина параболы: $(2, 0)$.
• Ось симметрии: прямая $x = 2$.
• Точка пересечения с осью ординат ($Oy$): $y = (0-2)^2 = 4$. Точка: $(0, 4)$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — парабола с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями, направленными вверх, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вправо.

3) $y = 2x^{-3}$

Перепишем функцию в виде $y = \frac{2}{x^3}$. Ее график строится на основе графика функции $y = \frac{1}{x^3}$. Преобразование заключается в вертикальном растяжении графика $y = \frac{1}{x^3}$ в 2 раза вдоль оси ординат ($Oy$).

Ключевые характеристики графика:

• Область определения: $D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная $y=0$ (ось $Ox$).
• Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу значений для построения графика:

График строится по точкам для каждой ветви, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: График функции $y = 2x^{-3}$ — кривая (гиперболического типа), состоящая из двух ветвей в I и III координатных четвертях, симметричных относительно начала координат. Асимптотами являются оси координат.