Номер 65, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-3}$ на промежутке:

1) $\left[\frac{1}{4}; 3\right]$;

2) $[-4; -2]$;

3) $[5; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-3}$ на заданных промежутках, необходимо сначала исследовать ее поведение (монотонность). Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^3}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания:

$y' = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$

Поскольку $x^4$ всегда положительно для любого $x \neq 0$, производная $y' = -\frac{3}{x^4}$ всегда отрицательна на всей области определения. Это означает, что функция $y = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Это свойство позволяет нам находить наибольшее и наименьшее значения на концах заданных промежутков.

1) Промежуток $[\frac{1}{4}; 3]$

Этот промежуток полностью лежит в области $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой точке промежутка ($x = \frac{1}{4}$), а наименьшее — в правой ($x = 3$).

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{4})^{-3} = \frac{1}{(\frac{1}{4})^3} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(3) = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Ответ: наибольшее значение равно 64, наименьшее значение равно $\frac{1}{27}$.

2) Промежуток $[-4; -2]$

Этот промежуток полностью лежит в области $(-\infty; 0)$, где функция также строго убывает. Поэтому наибольшее значение будет в левой точке промежутка ($x = -4$), а наименьшее — в правой ($x = -2$).

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-4) = (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64}$

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

Ответ: наибольшее значение равно $-\frac{1}{64}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{8}$.

3) Промежуток $[5; +\infty)$

Этот промежуток лежит в области $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Наибольшее значение достигается в самой левой точке промежутка, то есть при $x=5$.

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(5) = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

Поскольку промежуток неограничен справа, а функция на нем убывает, наименьшего значения она не достигает. При $x \to +\infty$, значение функции $y = \frac{1}{x^3}$ стремится к 0, но никогда не становится равным ему (всегда $y > 0$). Таким образом, у функции есть точная нижняя грань, равная 0, но нет наименьшего значения.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{125}$, наименьшего значения не существует.