Номер 71, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x - 8}$;

2) $y = \sqrt[10]{-x^8}$;

3) $y = \sqrt[5]{x + 2}$;

4) $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x}$;

5) $y = \sqrt[10]{-8 + 6x - x^2}$;

6) $y = \sqrt[12]{\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 9}}$.

1) Областью определения функции $y = \sqrt[n]{f(x)}$ с четным показателем корня $n$ является множество всех значений $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно. В данном случае $n=4$ (четное), поэтому:
$x - 8 \geq 0$
$x \geq 8$
Ответ: $[8, +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt[10]{-x^8}$. Показатель корня $n=10$ — четный, следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-x^8 \geq 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$x^8 \leq 0$
Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (8), является неотрицательным ($x^8 \geq 0$), единственное решение неравенства $x^8 \leq 0$ достигается только при условии $x^8 = 0$.
$x = 0$
Таким образом, функция определена только в одной точке.
Ответ: $\{0\}$.

3) Дана функция $y = \sqrt[5]{x + 2}$. Показатель корня $n=5$ — нечетный. Область определения корня нечетной степени — все действительные числа. Следовательно, область определения функции совпадает с областью определения подкоренного выражения $x+2$, которое определено для любых $x$.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) Дана функция $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x}$. Показатель корня $n=6$ — четный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4x \geq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 4) \geq 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения $x(x-4)=0$ являются $x=0$ и $x=4$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
$x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$
Ответ: $(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.

5) Дана функция $y = \sqrt[10]{-8 + 6x - x^2}$. Показатель корня $n=10$ — четный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-x^2 + 6x - 8 \geq 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знак:
$x^2 - 6x + 8 \leq 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=4$.
Неравенство можно записать в виде $(x-2)(x-4) \leq 0$.
Это парабола с ветвями вверх, которая принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
$x \in [2, 4]$
Ответ: $[2, 4]$.

6) Дана функция $y = \sqrt[12]{\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 9}}$. Показатель корня $n=12$ — четный. Область определения задается двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$ \begin{cases} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 9} \geq 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases} $
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x+3)} \geq 0$
Знаменатель не равен нулю при $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
При $x \neq -3$ дробь можно сократить до $\frac{x-1}{x-3} \geq 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=1$ (числитель равен 0) и $x=3$ (знаменатель равен 0). Отметим эти точки на числовой оси (1 — закрашенная, 3 — выколотая).
- На интервале $(3, +\infty)$ выражение положительно.
- На интервале $(1, 3)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(-\infty, 1)$ выражение положительно.
Таким образом, решение неравенства $\frac{x-1}{x-3} \geq 0$ есть $(-\infty, 1] \cup (3, +\infty)$.
Теперь учтем исходное ограничение $x \neq -3$. Точка $x=-3$ принадлежит промежутку $(-\infty, 1]$, поэтому ее необходимо исключить.
Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-3, 1] \cup (3, +\infty)$.