Номер 69, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Найдите значение корня:

1) $\sqrt[4]{16};$

2) $\sqrt[3]{0,027};$

3) $\sqrt[5]{-100000};$

4) $\sqrt[3]{1\frac{61}{64}};$

5) $-3\sqrt[3]{-0,000343}.$

1) Чтобы найти значение корня четвертой степени из 16, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 16.
Известно, что $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Ответ: 2

2) Найдем значение кубического корня из 0,027. Нужно найти число, которое при возведении в куб (третью степень) равно 0,027.
Представим 0,027 как степень числа: $0.027 = 0.3 \times 0.3 \times 0.3 = (0.3)^3$.
Таким образом, $\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{(0.3)^3} = 0.3$.
Ответ: 0.3

3) Найдем значение корня пятой степени из -100 000. Так как показатель корня (5) — нечетное число, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
$\sqrt[5]{-100000} = -\sqrt[5]{100000}$.
Мы знаем, что $10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100000$.
Следовательно, $\sqrt[5]{-100000} = \sqrt[5]{(-10)^5} = -10$.
Ответ: -10

4) Чтобы найти значение кубического корня из смешанного числа $1\frac{61}{64}$, сначала преобразуем его в неправильную дробь.
$1\frac{61}{64} = \frac{1 \times 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$.
Теперь извлечем кубический корень из дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}$.
Найдем кубические корни числителя и знаменателя: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3=125$, и $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3=64$.
Таким образом, $\sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

5) Найдем значение выражения $-3\sqrt[3]{-0,000343}$.
Сначала вычислим значение кубического корня. Так как показатель корня (3) нечетный, корень из отрицательного числа является отрицательным.
$\sqrt[3]{-0,000343} = -\sqrt[3]{0,000343}$.
Поскольку $7^3=343$, то $(0.07)^3 = 0.000343$.
Тогда $\sqrt[3]{-0,000343} = \sqrt[3]{(-0.07)^3} = -0.07$.
Теперь умножим полученный результат на -3:
$-3 \times (-0.07) = 0.21$.
Ответ: 0.21